TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 480

Zeigen Sie: In jedem Vektorraum $V$ über dem Körper $𝕂$ gilt $\lambda \cdot 0=0$ für alle $\lambda \in 𝕂$ und $0_K\cdot \overrightarrow{a}=0$ für alle $\overrightarrow{a}\in V$.

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Lösungsvorschlag von neo

Meinem Verständnis nach entspricht $o$ in diesem Fall dem Nullvektor.
$o=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\end{array}\right)$

$\lambda \ast o=\lambda \ast \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda 0\\ \lambda 0\\ \lambda 0\\ \lambda 0\\ .\\ .\\ .\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\end{array}\right)=o$

$0\ast a=0\ast \left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ .\\ .\\ .\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0a_1\\ 0a_2\\ 0a_3\\ 0a_4\\ .\\ .\\ .\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ .\\ .\\ .\end{array}\right)=o$
$◻$

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 20:05, 24. Feb. 2026 (CET)

Zeigen Sie: In jedem Vektorraum $V$ über dem Körper $𝕂$ gilt $\lambda \cdot 0=0$ für alle $\lambda \in 𝕂$ und $0_K\cdot \overrightarrow{a}=0$ für alle $\overrightarrow{a}\in V$.

Anmerkung: In diesen Beweisen unterscheide ich zwischen $0$ des Körpers $0_K\in 𝕂$ und dem Nullvektor $0_V\in V$.

Zuerst zeigen wir den zweiten Beweis für $0_K\cdot \overrightarrow{a}=0_V,\mathrm{\forall }\overrightarrow{a}\in V$:

Beweis: $0_K\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0_V},\overrightarrow{a},\overrightarrow{0_V}\in V,0_K\in 𝕂$:

Aus $(0_K+0_K)=0_K$ folgt:

$(0_K+0_K)\cdot \overrightarrow{a}=(0_K)\cdot \overrightarrow{a}$.

Das DG besagt: $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{a}=(\lambda \cdot \overrightarrow{a})+(\mu \cdot \overrightarrow{a})$:

Ausgehend vom DG folgt:

$(0_K+0_K)\cdot \overrightarrow{a}=(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(0_K\cdot \overrightarrow{a})$.

Also gilt:

$(0_K+0_K)\cdot \overrightarrow{a}=(0_K\cdot \overrightarrow{a})$ und $(0_K+0_K)\cdot \overrightarrow{a}=(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(0_K\cdot \overrightarrow{a})$.

Setzt man die beiden rechten Seiten gleich, folgt:

$(0_K\cdot \overrightarrow{a})=(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(0_K\cdot \overrightarrow{a})$.

Addieren wir auf beiden Seiten das additiv Inverse von $(0_K\cdot \overrightarrow{a})$, so folgt:

$(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(-(0_K\cdot \overrightarrow{a}))=(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(0_K\cdot \overrightarrow{a})+(-(0_K\cdot \overrightarrow{a}))⟹\overrightarrow{0_V}=(0_K\cdot \overrightarrow{a})$.

Den ersten Beweis kann man in zwei Varianten interpretieren:

• Multiplikation mit dem Skalar $0_K:$ Das ergibt wegen der Körpereigenschaften, keine Nullteiler, sofort $0_K$ (ohne Beweis).
• Multiplikation mit dem Nullvektor $0_V:$. Das ist der interessantere Beweis.

Beweis: $\lambda \cdot 0_V=0_V$ für alle $\lambda \in 𝕂,\overrightarrow{a}\in V$.

$\lambda \cdot (0_V+0_V)=\lambda \cdot (0_V)$ und

Aus dem Vektorraumaxiom (DG) gilt allgemein ($\overrightarrow{b}\in V$):

$\lambda \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\lambda \cdot \overrightarrow{b}$.

Daraus folgt:

$\lambda \cdot (0_V+0_V)=\lambda \cdot 0_V+\lambda \cdot 0_V$.

Also gilt:

$\lambda \cdot (0_V+0_V)=\lambda \cdot (0_V)$ und $\lambda \cdot (0_V+0_V)=\lambda \cdot 0_V+\lambda \cdot 0_V$.

Setzen wir nun die beiden Seiten gleich, dann folgt daraus:

$\lambda \cdot 0_V=\lambda \cdot 0_V+\lambda \cdot 0_V$.

Addieren wir auf beiden Seiten das additive, vektorielle Inverse von $(\lambda \cdot 0_V)$, erhalten wir:

$\lambda \cdot 0_V+-(\lambda \cdot 0_V)=\lambda \cdot 0_V+\lambda \cdot 0_V+-(\lambda \cdot 0_V)$.

Auf der linken Seite bleibt $0_V$ und auf der rechten Seite bleibt $\lambda \cdot 0_V$ stehen, also gilt

$0_V=(\lambda \cdot 0_V)$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

Ähnliche Beispiele:

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