TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 111

Sei $M=\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\})$ und $R$ eine Relation auf $M$ gegeben durch:

$(a,b)R(c,d):\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

Zeigen Sie, dass $R$ eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie die durch $R$ induzierte Partition von $M$.

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Hilfreiches

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: $\forall a\,\in A:aRa$,

Symmetrie: $\forall a,b\,\in A:aRb\Rightarrow bRa$,

Transitivität: $\forall a,b,c\,\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.