TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 14

$B$ sei der durch $x=4$ , $y=1$ und $x+2y=2$ begrenzt beschränkte Bereich der $(x,y)$ -Ebene. Man berechne $\iint _{B}12x^{2}y^{2}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y$ auf zwei verschiedene Arten (durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge).

Theoretische Grundlagen: Gebietsintegral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(kopiert von SS06)

Zwei Funktionen $\varphi _{1}$ und $\varphi _{2}$ , welche ein Gebiet begrenzen ( $\varphi _{1}$ "oben", $\varphi _{2}$ "unten") sind die Grenzen für die zu berechnende Fläche. Diese Funktionen seien explizit in der Form $y=\dots$ gegeben.

Die niedrigere "x-Grenze" des Flächenstücks sei durch $t_{2}$ gegeben, die höhere durch $t_{1}$ .

Nun gilt für das Gebietsintegral folgende Formel: $\int _{t_{2}}^{t_{1}}\int _{\varphi _{2}}^{\varphi _{1}}f(x,y)\,\,dy\,\,dx$

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Variante 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$x+2y=2\Rightarrow y=1-{\frac {x}{2}}$

$y=1-{\frac {x}{2}}=1\Rightarrow x=0$

$\begin{aligned} \iint_{B} 12 x^{2} y^{2} d y d x & = \int_{x = 0}^{4} (\int_{y = 1 - \frac{x}{2}}^{1} 12 x^{2} y^{2} d y) d x \\ = 12 \int_{x = 0}^{4} (\int_{y = 1 - \frac{x}{2}}^{1} x^{2} y^{2} d y) d x \\ = 12 \int_{x = 0}^{4} ({\frac{1}{3} x^{2} y^{3} |}_{y = 1 - \frac{x}{2}}^{1}) d x \\ = 4 \int_{0}^{4} x^{2} \cdot 1^{3} - x^{2} \cdot {(1 - \frac{x}{2})}^{3} d x \\ = 4 \int_{0}^{4} x^{2} - x^{2} \cdot (1^{3} - 3 \cdot 1^{2} \cdot \frac{x}{2} + 3 \cdot 1 \cdot {(\frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{x}{2})}^{3}) d x \\ = 4 \int_{0}^{4} x^{2} - x^{2} \cdot (1 - \frac{3 x}{2} + \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{x^{3}}{} \end{aligned}$

Variante 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

x+2y=2\Rightarrow x=2-2y

$x=2-2y=4\Rightarrow y=-1$

$\begin{aligned} \iint_{B} 12 x^{2} y^{2} d x d y & = \int_{y = - 1}^{1} (\int_{x = 2 - 2 y}^{4} 12 x^{2} y^{2} d x) d y \\ = 12 \int_{y = - 1}^{1} (\int_{x = 2 - 2 y}^{4} x^{2} y^{2} d x) d y \\ = 12 \int_{y = - 1}^{1} ({\frac{1}{3} x^{3} y^{2} |}_{x = 2 - 2 y}^{4}) d y \\ = 4 \int_{- 1}^{1} 4^{3} \cdot y^{2} - {(2 - 2 y)}^{3} \cdot y^{2} d y \\ = 4 \int_{- 1}^{1} 64 \cdot y^{2} - (8 - 24 y + 24 y^{2} - 8 y^{3}) \cdot y^{2} d y \\ = 4 \int_{- 1}^{1} 64 y^{2} - 8 y^{2} + 24 y^{3} - 24 y^{4} + \end{aligned}$