TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 14

$B$ sei der durch $x=4$, $y=1$ und $x+2y=2$ begrenzt beschränkte Bereich der $(x,y)$-Ebene. Man berechne ${\iint }_{B}12x^2{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ auf zwei verschiedene Arten (durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge).

Theoretische Grundlagen: Gebietsintegral

(kopiert von SS06)

Zwei Funktionen ${\phi }_1$ und ${\phi }_2$, welche ein Gebiet begrenzen (${\phi }_1$ "oben", ${\phi }_2$ "unten") sind die Grenzen für die zu berechnende Fläche. Diese Funktionen seien explizit in der Form $y=\dots$ gegeben.

Die niedrigere "x-Grenze" des Flächenstücks sei durch $t_2$ gegeben, die höhere durch $t_1$.

Nun gilt für das Gebietsintegral folgende Formel: ${\int }_{t_2}^{t_1}{\int }_{{\phi }_2}^{{\phi }_1}f(x,y)dydx$

Lösungsvorschlag

Skizze vom Bereich $B$

Variante 1

$x+2y=2\Rightarrow y=1-\frac{x}{2}$

$y=1-\frac{x}{2}=1\Rightarrow x=0$

$\begin{array}{cc}{\iint }_{B}12x^2{y}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}x& ={\int }_{x=0}^4\left({\int }_{y=1-\frac{x}{2}}^{1}12x^2{y}^2\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\\ & =12{\int }_{x=0}^4\left({\int }_{y=1-\frac{x}{2}}^1{x}^2{y}^2\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\\ & =12{\int }_{x=0}^4\left({\frac{1}{3}{x}^2{y}^3|}_{y=1-\frac{x}{2}}^1\right)\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2\cdot 1^3-x^2\cdot {(1-\frac{x}{2})}^3\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2-x^2\cdot (1^3-3\cdot 1^2\cdot \frac{x}{2}+3\cdot 1\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^3)\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2-x^2\cdot (1-\frac{3x}{2}+\frac{3x^2}{4}-\frac{x^3}{8})\mathrm{d}x\\ & =4{\int }_0^4{x}^2-x^2+\frac{3x^3}{2}-\frac{3x^4}{4}+\frac{x^5}{8}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{4}12x^3-6x^4+x^5\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{(\frac{12x^4}{4}-\frac{6x^5}{5}+\frac{x^6}{6})|}_{x=0}^4\\ & ={(\frac{3x^4}{2}-\frac{3x^5}{5}+\frac{x^6}{12})|}_{x=0}^4\\ & =(\frac{3\cdot 4^4}{2}-\frac{3\cdot 4^5}{5}+\frac{4^6}{12})-(\frac{3\cdot 0^4}{2}-\frac{3\cdot 0^5}{5}+\frac{0^6}{12})\\ & =\frac{3\cdot 256}{2}-\frac{3\cdot 1024}{5}+\frac{4096}{12}=\frac{1664}{15}\approx 110.9333\end{array}$

WolframAlpha

Variante 2

$x+2y=2\Rightarrow x=2-2y$

$x=2-2y=4\Rightarrow y=-1$

$\begin{array}{cc}{\iint }_{B}12x^2{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\int }_{y=-1}^1\left({\int }_{x=2-2y}^{4}12x^2{y}^2\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y\\ & =12{\int }_{y=-1}^1\left({\int }_{x=2-2y}^4{x}^2{y}^2\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y\\ & =12{\int }_{y=-1}^1\left({\frac{1}{3}{x}^3{y}^2|}_{x=2-2y}^4\right)\mathrm{d}y\\ & =4{\int }_{-1}^1{4}^3\cdot y^2-{(2-2y)}^3\cdot y^2\mathrm{d}y\\ & =4{\int }_{-1}^{1}64\cdot y^2-(8-24y+24y^2-8y^3)\cdot y^2\mathrm{d}y\\ & =4{\int }_{-1}^{1}64y^2-8y^2+24y^3-24y^4+8y^5\mathrm{d}y\\ & =32{\int }_{-1}^{1}7y^2+3y^3-3y^4+y^5\mathrm{d}y\\ & =32{(\frac{7y^3}{3}+\frac{3y^4}{4}-\frac{3y^5}{5}+\frac{y^6}{6})|}_{y=-1}^1\\ & ={(\frac{224y^3}{3}+\frac{96y^4}{4}-\frac{96y^5}{5}+\frac{32y^6}{6})|}_{y=-1}^1\\ & =(\frac{224}{3}+\frac{96}{4}-\frac{96}{5}+\frac{32}{6})-(\frac{-224}{3}+\frac{96}{4}-\frac{-96}{5}+\frac{32}{6})\\ & =\frac{224}{3}+\frac{96}{4}-\frac{96}{5}+\frac{32}{6}+\frac{224}{3}-\frac{96}{4}-\frac{96}{5}-\frac{32}{6}\\ & =\frac{448}{3}-\frac{192}{5}=\frac{1664}{15}\approx 110.9333\end{array}$

WolframAlpha

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 5 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 33 (ähnliches Beispiel)