TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS12/Beispiel 14

$B$ sei der durch $x=4$, $y=1$ und $x+2y=2$ begrenzt beschränkte Bereich der $(x,y)$-Ebene. Man berechne $\iint _{B}12x^{2}y^{2}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y$ auf zwei verschiedene Arten (durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge).

Theoretische Grundlagen: Gebietsintegral

(kopiert von SS06)

Zwei Funktionen $\varphi _{1}$ und $\varphi _{2}$, welche ein Gebiet begrenzen ($\varphi _{1}$ "oben", $\varphi _{2}$ "unten") sind die Grenzen für die zu berechnende Fläche. Diese Funktionen seien explizit in der Form $y=\dots$ gegeben.

Die niedrigere "x-Grenze" des Flächenstücks sei durch $t_{2}$ gegeben, die höhere durch $t_{1}$.

Nun gilt für das Gebietsintegral folgende Formel: $\int _{t_{2}}^{t_{1}}\int _{\varphi _{2}}^{\varphi _{1}}f(x,y)\,\,dy\,\,dx$

Lösungsvorschlag

Skizze vom Bereich $B$

Variante 1

$x+2y=2\Rightarrow y=1-{\frac {x}{2}}$

$y=1-{\frac {x}{2}}=1\Rightarrow x=0$

$x+2y=2\Rightarrow x=2-2y$