TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 153

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Man zeige, dass die Exponentialfunktionen ein Orthogonalsystem im -Vektorraum der komplexwertigen -periodischen Funktionen bilden, d.h.

und leite daraus die Orthogonalität von und für alle her, d.h.

.

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gerade und ungerade Funktion
Gerade und ungerade Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion

  • heißt gerade, falls . Anschaulich ist so eine Funktion an der y-Achse gespiegelt, Beispiel: Kosinus.
  • heißt ungerade, falls . Anschaulich ist so eine Funktion an der einen und dann an der anderen Achse gespiegelt, Beispiel: Sinus.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Fall gilt folgendes:

Für den Fall gilt folgendes:

Daraus kann man nun folgendes ableiten:

sowie

Der jeweilige Vergleich der Imaginärteile liefert:

Durch Addition bzw. Subtraktion erhält man:

Hinweis: Das gilt sowohl für , als auch für , weil für alle gilt (= Imaginärteil).