Man zeige, dass die Exponentialfunktionen
ein Orthogonalsystem im
-Vektorraum der komplexwertigen
-periodischen Funktionen bilden, d.h.
und leite daraus die Orthogonalität von
und
für alle
her, d.h.
![{\displaystyle \langle \cos mt,\sin nt\rangle =\int _{0}^{2\pi }\cos mt\sin nt\,\mathrm {d} t=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=018693ada37a9051016d4b9ccf2dc00a&mode=mathml)
.
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{{Beispiel|1=
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}}
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}}
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{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
- Gerade und ungerade Funktion
Eine Funktion
- heißt gerade, falls
. Anschaulich ist so eine Funktion an der y-Achse gespiegelt, Beispiel: Kosinus.
- heißt ungerade, falls
. Anschaulich ist so eine Funktion an der einen und dann an der anderen Achse gespiegelt, Beispiel: Sinus.
Für den Fall
gilt folgendes:
Für den Fall
gilt folgendes:
Daraus kann man nun folgendes ableiten:
sowie
Der jeweilige Vergleich der Imaginärteile liefert:
Durch Addition bzw. Subtraktion erhält man:
Hinweis: Das gilt sowohl für
, als auch für
, weil
für alle
gilt (
= Imaginärteil).