TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 153
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Man zeige, dass die Exponentialfunktionen ein Orthogonalsystem im -Vektorraum der komplexwertigen -periodischen Funktionen bilden, d.h.
und leite daraus die Orthogonalität von und für alle her, d.h.
.
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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gerade und ungerade Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Funktion
- heißt gerade, falls . Anschaulich ist so eine Funktion an der y-Achse gespiegelt, Beispiel: Kosinus.
- heißt ungerade, falls . Anschaulich ist so eine Funktion an der einen und dann an der anderen Achse gespiegelt, Beispiel: Sinus.
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für den Fall gilt folgendes:
Für den Fall gilt folgendes:
Daraus kann man nun folgendes ableiten:
sowie
Der jeweilige Vergleich der Imaginärteile liefert:
Durch Addition bzw. Subtraktion erhält man:
Hinweis: Das gilt sowohl für , als auch für , weil für alle gilt (= Imaginärteil).