TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 385

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Man betrachte die Temperaturverteilung u(x, t) eines Stabes der Länge l, welche an der Stelle 0 \le x \le l zur Zeit t \ge 0 durch die homogene Wärmeleitungsgleichung

u_t = \alpha^2 u_{xx}

(mit einer Konstanten \alpha > 0) beschrieben werden kann. Man löse nun mit Hilfe des Produktansatzes u(x, t) = X(x) T(t) das folgende Rand-Anfangswert-Problem (für eine vorgegebene Funktion f(x)):

u(x, 0) = f(x) für 0 \le x \le l, u(0, t) = u(l, t) = 0 für t \ge 0.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Produktansatz
Produktansatz[Bearbeiten]

Beim Produktansatz trachtet man danach ein multiplikative Trennung der Variablen herbeizuführen:

u(x,y) = X(x) \cdot Y(y)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

\begin{align}
XT' &= \alpha^2 X''T \\
\frac{T'}{\alpha^2 T} &= \frac{X''}{X} = k
\end{align}

Für die t-Seite ergibt das

\begin{align}
\frac{T'}{\alpha^2 T} &= k \\ 
\frac{T'}{T} &= \alpha^2 k \\ 
\ln |T| &= \alpha^2 k t + \tilde C_1 \\ 
T &= \tilde C_1 \cdot e^{\alpha^2 k t}
\end{align}

für die x-Seite

\begin{align}
\frac{X''}{X} &= k \\
X'' - k X &= 0 \\
\end{align}

was über die charakteristische Gleichung \lambda^2 - k = 0 (mit der Lösung \lambda = \sqrt k = n) zu

X_n = \tilde C_2 \cos n x + \tilde C_3 \sin n x

führt und somit folgendes ergibt:

\begin{align}u_n(x,t)
&= T_n \cdot X_n \\
&= \tilde C_1 \cdot e^{\alpha^2 n^2 t} (\tilde C_2 \cos n x + \tilde C_3 \sin n x) \\
&= e^{\alpha^2 n^2 t} (C_{1} \cos n x + C_{2} \sin n x) \\
\end{align}

u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty e^{\alpha^2 n^2 t} (C_{1n} \cos n x + C_{2n} \sin n x)

Mit den vorgegebenen Anfangsbedingung ergibt sich durch

\begin{align}u(x,0) &= f(x) \\
&= \sum_{n=1}^\infty \underbrace{e^{\alpha^2 n^2 0}}_{=1} (C_{1n} \cos n x + C_{2n} \sin n x) \\
f(x) &= \sum_{n=1}^\infty (C_{1n} \cos n x + C_{2n} \sin n x)
\end{align}

und aufgrund von u(0,t) = u(l,t) = 0, dass der Kosinus-Teil 0 sein muss und somit f(x) eine ungerade Funktion sein muss. Das führt zu

C_{1n} = 0

C_{2n} = f_n = \frac{2}{l}\int_0^l f(x) \sin \frac{2\pi n}{l} \,\mathrm d x.