TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 385

Man betrachte die Temperaturverteilung $u(x,t)$ eines Stabes der Länge $l$, welche an der Stelle $0\le x\le l$ zur Zeit $t\ge 0$ durch die homogene Wärmeleitungsgleichung

$u_t={\alpha }^2{u}_{xx}$

(mit einer Konstanten $\alpha >0$) beschrieben werden kann. Man löse nun mit Hilfe des Produktansatzes $u(x,t)=X(x)T(t)$ das folgende Rand-Anfangswert-Problem (für eine vorgegebene Funktion $f(x)$):

$u(x,0)=f(x)$ für $0\le x\le l$, $u(0,t)=u(l,t)=0$ für $t\ge 0$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Produktansatz

Produktansatz

Beim Produktansatz trachtet man danach ein multiplikative Trennung der Variablen herbeizuführen:

$u(x,y)=X(x)\cdot Y(y)$

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}X{T}^{\prime }& ={\alpha }^2{X}^{″}T\\ \frac{T^{\prime }}{{\alpha }^{2}T}& =\frac{X^{″}}{X}=k\end{array}$

Für die $t$-Seite ergibt das

$\begin{array}{cc}\frac{T^{\prime }}{{\alpha }^{2}T}& =k\\ \frac{T^{\prime }}{T}& ={\alpha }^{2}k\\ \ln |T|& ={\alpha }^{2}kt+{\tilde{C}}_1\\ T& ={\tilde{C}}_1\cdot e^{{\alpha }^{2}kt}\end{array}$

für die $x$-Seite

$\begin{array}{cc}\frac{X^{″}}{X}& =k\\ X^{″}-kX& =0\\ \end{array}$

was über die charakteristische Gleichung ${\lambda }^2-k=0$ (mit der Lösung $\lambda =\sqrt{k}=n$) zu

$X_n={\tilde{C}}_2\cos nx+{\tilde{C}}_3\sin nx$

führt und somit folgendes ergibt:

$\begin{array}{cc}{u}_n(x,t)& =T_n\cdot X_n\\ & ={\tilde{C}}_1\cdot e^{{\alpha }^2{n}^{2}t}({\tilde{C}}_2\cos nx+{\tilde{C}}_3\sin nx)\\ & =e^{{\alpha }^2{n}^{2}t}(C_1\cos nx+C_2\sin nx)\\ \end{array}$

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{{\alpha }^2{n}^{2}t}(C_{1n}\cos nx+C_{2n}\sin nx)$

Mit den vorgegebenen Anfangsbedingung ergibt sich durch

$\begin{array}{cc}u(x,0)& =f(x)\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{=1}{\underbrace{e^{{\alpha }^2{n}^{2}0}}}(C_{1n}\cos nx+C_{2n}\sin nx)\\ f(x)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(C_{1n}\cos nx+C_{2n}\sin nx)\end{array}$

und aufgrund von $u(0,t)=u(l,t)=0$, dass der Kosinus-Teil $0$ sein muss und somit $f(x)$ eine ungerade Funktion sein muss. Das führt zu

$C_{1n}=0$

$C_{2n}=f_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\sin \frac{2\pi n}{l}\mathrm{d}x$.