TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 422

Wie lautet die natürliche kubische Splinefunktion, welche die Wertepaare aus der vorhergehenden Aufgabe interpoliert? Man vergleiche die Funktionswerte für $x=1,3,5$ mit denen des kubischen Interpolationspolynoms.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wertepaare aus der vorherigen Aufgabe lauten: (0,180), (2,240), (4,320) und (6,360). ( $x_{0}=0,x_{1}=2,x_{2}=4,x_{3}=6$ ).

Nun wird für jeden Teilintervall das Splinepolynom konstruriert.
$a_{j},b_{j},c_{j},d_{j}$

Gleichungungsystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nun haben wir bereits 4 der gesuchten Koeffizienten:
$a_{1}=240,a_{2}=320,a_{3}=360,c_{3}=0$

Für die restlichen 8 Koeffizienten bauen wir hier das Gleichungsystem auf ${\begin{pmatrix}-2&0&0&4&0&-8&0&0\\0&-2&0&0&4&0&-8&0\\0&0&-2&0&0&0&0&-8\\1&-1&0&0&4&0&-12&0\\0&0&0&2&-2&0&12&0\\0&1&-1&0&0&0&0&-12\\0&0&0&0&2&0&0&12\\0&0&0&2&0&-12&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\c_{1}\\c_{2}\\d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-60\\-80\\-40\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Lösung mittels Octave:
octave:4> A = [-2,0,0,4,0,-8,0,0;
0,-2,0,0,4,0,-8,0;
0,0,-2,0,0,0,0,-8;
1,-1,0,0,4,0,-12,0;
0,0,0,2,-2,0,12,0;
0,1,-1,0,0,0,0,-12;
0,0,0,0,2,0,0,12;
0,0,0,2,0,-12,0,0];
octave:5> b = [-60;-80;-40;0;0;0;0;0];
octave:6> x = A \ b
x =

Die restlichen Koeffizienten sind also:
$b_{1}=38,b_{2}=32,b_{3}=14,c_{1}=6,c_{2}=-9,d_{1}=1,d_{2}=-2.5,d_{3}=1.5$

Die Spline Polynome mit eingesetzten Werten lauten also:
${\begin{aligned}S_{1}(x)&=240+38\cdot (x-2)+6\cdot (x-2)^{2}+(x-2)^{3}\\S_{2}(x)&=320+32\cdot (x-4)-9\cdot (x-4)^{2}-2.5\cdot (x-4)^{3}\\S_{3}(x)&=360+14\cdot (x-6)+1.5\cdot (x-6)^{3}\end{aligned}}$

Gezeichnet sehen die Splines folgendermaßen aus: Plot der Splines (WolframAlpha)

Oder so: Datei:TU Wien-Analysis 2 UE (diverse)-Übungen SS12-Beispiel 71 - Spline 71.pdf

Überprüfung der Punkte $x=1,3,5$
$240+38\cdot (1-2)+6\cdot (1-2)^{2}+(1-2)^{3}=207$
$320+32\cdot (3-4)-9\cdot (3-4)^{2}-2.5\cdot (3-4)^{3}=281.5$
$360+14\cdot (5-6)+1.5\cdot (5-6)^{3}=344.5$