Wie lautet die natürliche kubische Splinefunktion, welche die Wertepaare aus der vorhergehenden Aufgabe interpoliert? Man vergleiche die Funktionswerte für mit denen des kubischen Interpolationspolynoms.
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Die Wertepaare aus der vorherigen Aufgabe lauten: (0,180), (2,240), (4,320) und (6,360).
().
Nun wird für jeden Teilintervall das Splinepolynom konstruriert.
Um die Koffizienten zu bestimmen werden für jedes Polynom 4 Bedingungen benötigt.
Grundvoraussetzung ist das die Endpunkte der Intervalle übereinstimmen. Dadurch bekommen wir jeweils 2 Bedinungen:
Weiters müssen die Splines an den inneren Stützstellen (2,240), (4,320) zweimal stetig differenzierbar sein:
Nun fehlen uns noch die Randbedingungen, da wir einen natürlichen Spline suchen wählen wir einen freien Rand und kommen auf unsere letzten beiden Bedingungen:
Nun haben wir bereits 4 der gesuchten Koeffizienten:
Für die restlichen 8 Koeffizienten bauen wir hier das Gleichungsystem auf
Lösung mittels Octave:
octave:4> A = [-2,0,0,4,0,-8,0,0;
0,-2,0,0,4,0,-8,0;
0,0,-2,0,0,0,0,-8;
1,-1,0,0,4,0,-12,0;
0,0,0,2,-2,0,12,0;
0,1,-1,0,0,0,0,-12;
0,0,0,0,2,0,0,12;
0,0,0,2,0,-12,0,0];
octave:5> b = [-60;-80;-40;0;0;0;0;0];
octave:6> x = A \ b
x =
38.0000
32.0000
14.0000
6.0000
-9.0000
1.0000
-2.5000
1.5000
Die restlichen Koeffizienten sind also:
Die Spline Polynome mit eingesetzten Werten lauten also:
Gezeichnet sehen die Splines folgendermaßen aus: Plot der Splines (WolframAlpha)
Oder so: Datei:TU Wien-Analysis 2 UE (diverse)-Übungen SS12-Beispiel 71 - Spline 71.pdf
Überprüfung der Punkte
Spline-Interpolation (Wikipedia)