TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 99

Man berechne das Bereichsintegral ${\iiint }_B{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$, wobei $B\subseteq {ℝ}^3$ der Hohlzylinder

$B=\{(x,y,z)|1\le x^2+y^2\le 2,1\le z\le 2\}$

ist.

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Um Integrieren zu können wenden wir folgende Substitution an:

$x=r\cdot \cos \phi$

$y=r\cdot \sin \phi$

$z=s$

Der dazugehörige Bereich $B^{\prime }$:

$1\le r\le \sqrt{2}$

$0\le \phi \le 2\pi$

$1\le s\le 2$

Für die Substitution müssen die Integrations-Domänen neu bestimmt werden (Determinante der Funktionsmatrix):

$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\left|\begin{array}{ccc}{x}_r& x_{\phi }& x_s\\ y_r& y_{\phi }& y_s\\ z_r& z_{\phi }& z_s\end{array}\right|\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}s$

$\left|\begin{array}{ccc}\cos \phi & -r\cdot \sin \phi & 0\\ \sin \phi & r\cdot \cos \phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=r\cdot {\cos }^2\phi +r\cdot {\sin }^2\phi =r\cdot \underset{=1}{\underbrace{({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )}}=r$

Damit erhalten wir

$\begin{array}{cc}{\iiint }_B{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z& ={\iiint }_{B^{\prime }}(r\cdot \cos \phi {)}^2\cdot r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}r\mathrm{d}s\\ & ={\int }_{s=1}^2{\int }_{r=1}^{\sqrt{2}}{r}^3\cdot \underset{{\frac{\phi +\sin \phi \cdot \cos \phi }{2}|}_{\phi =0}^{2\pi }=\pi }{\underbrace{\left({\int }_{\phi =0}^{2\pi }{\cos }^2\phi \mathrm{d}\phi \right)}}\mathrm{d}r\mathrm{d}s\\ & ={\int }_{s=1}^2\underset{{\frac{r^4\cdot \pi }{4}|}_{r=1}^{\sqrt{2}}=\frac{3\pi }{4}}{\underbrace{({\int }_{r=1}^{\sqrt{2}}{r}^3\cdot \pi \mathrm{d}r)}}\mathrm{d}s\\ & ={\int }_{s=1}^2\frac{3\pi }{4}\mathrm{d}s\\ & ={\frac{3\pi s}{4}|}_{s=1}^2\\ & =\frac{3\pi }{4}\end{array}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 127 (ähnliches Beispiel)