TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 217

Man zeige mittels partieller Integration, dass

$ℒ\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0_{+})$

gilt, wobei $F(s)$ die Laplace-Transformierte von $f(t)$ bezeichnet und $f(0_{+})$ für den rechtsseitigen Grenzwert steht. (Die Funktion $f(t)$ und $f^{\prime }(t)$ seien Laplace-transformierbar und $f(t)$ sei stetig auf ${ℝ}^{+}$.)

Durch vollständige Induktion gewinne man daraus die entsprechende Regel für $ℒ\{f^{(n)}(t)\}$.

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Hilfreiches

Partielle Integration

Partielle Integration

$\int udv=uv-\int vdu$ alias $\int u(x)v^{\prime }(x)=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)$

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}ℒ\{f^{\prime }(t)\}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}^{\prime }(t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={f(t)e^{-st}|}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)\cdot (-s{e}^{-st})\mathrm{d}t\\ & ={f(t)e^{-st}|}_0^{\mathrm{\infty }}+s{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}\mathrm{d}t\\ & ={f(t)e^{-st}|}_0^{\mathrm{\infty }}+sF(s)\\ & =f(\mathrm{\infty })\underset{=0}{\underbrace{e^{-s\mathrm{\infty }}}}-f(0)\underset{=1}{\underbrace{e^{-s0}}}+sF(s)\\ & =sF(s)-f(0)\end{array}$

NOTE: Da $f(t)$ auf ${ℝ}^{+}$ stetig ist, betrachten wir nur den stetigen Grenzwert $f(0_{+})$.

Vollständige Induktion

$ℒ\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0)$

Durch Rekursive Anwendung dieser vorigen Vorschrift:

$\begin{array}{cc}ℒ\{f^{″}(t)\}& =ℒ\{(f^{\prime }{)}^{\prime }(t)\}=sℒ\{f^{\prime }(t)\}-f^{\prime }(0)\\ & =s(sℒ\{f(t)\}-f(0))-f^{\prime }(0)\\ & =s^2ℒ\{f(t)\}-sf(0)-f^{\prime }(0)\end{array}$

Und daraus:

$\begin{array}{cc}ℒ\{f^{(n)}(t)\}& =s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}{f}^{\prime }(0)-s^{n-3}{f}^{″}(0)-\dots -s^0{f}^{(n-1)}(0)\\ & =s^{n}F(s)-\sum _{i=0}^{n-1}{s}^{n-1-i}{f}^{(i)}(0)\\ & =s^{n}F(s)-s^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}{s}^{-i}{f}^{(i)}(0)\end{array}$

$\begin{array}{cc}ℒ\{f^{(n+1)}(t)\}& =sℒ\{f^{(n)}(t)\}-f^{(n)}(0)\\ & =s(s^{n}F(s)-s^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}{s}^{-i}{f}^{(i)}(0))-f^{(n)}(0)\\ & =s^{n+1}F(s)-s^n\sum _{i=0}^{n-1}{s}^{-i}{f}^{(i)}(0)-f^{(n)}(0)\\ & =s^{n+1}F(s)-s^n\sum _{i=0}^n{s}^{-i}{f}^{(i)}(0)\end{array}$

Links

• http://www.youtube.com/watch?v=QIgmtx0xODs&feature=plcp