TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 217

Man zeige mittels partieller Integration, dass

${\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)-f(0_{+})$

gilt, wobei $F(s)$ die Laplace-Transformierte von $f(t)$ bezeichnet und $f(0_{+})$ für den rechtsseitigen Grenzwert steht. (Die Funktion $f(t)$ und $f'(t)$ seien Laplace-transformierbar und $f(t)$ sei stetig auf $\mathbb {R} ^{+}$.)

Durch vollständige Induktion gewinne man daraus die entsprechende Regel für ${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}$.

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Hilfreiches

Partielle Integration

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$ alias $\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$

Lösungsvorschlag

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}&=\int _{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t\\&=\left.f(t)e^{-st}\right|_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot (-se^{-st})\,\mathrm {d} t\\&=\left.f(t)e^{-st}\right|_{0}^{\infty }+s\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t\\&=\left.f(t)e^{-st}\right|_{0}^{\infty }+sF(s)\\&=f(\infty )\underbrace {e^{-s\infty }} _{=0}-f(0)\underbrace {e^{-s0}} _{=1}+sF(s)\\&=sF(s)-f(0)\end{aligned}}$

NOTE: Da $f(t)$ auf $\mathbb {R} ^{+}$ stetig ist, betrachten wir nur den stetigen Grenzwert $f(0_{+})$.

Vollständige Induktion

${\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)-f(0)$

Durch Rekursive Anwendung dieser vorigen Vorschrift:

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f''(t)\right\}&={\mathcal {L}}\left\{(f')'(t)\right\}=s{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}-f'(0)\\&=s(s{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0))-f'(0)\\&=s^{2}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-sf(0)-f'(0)\end{aligned}}$

Und daraus:

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}&=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-s^{n-3}f''(0)-\dots -s^{0}f^{(n-1)}(0)\\&=s^{n}F(s)-\sum _{i=0}^{n-1}s^{n-1-i}f^{(i)}(0)\\&=s^{n}F(s)-s^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}s^{-i}f^{(i)}(0)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f^{(n+1)}(t)\right\}&=s{\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}-f^{(n)}(0)\\&=s\left(s^{n}F(s)-s^{n-1}\sum _{i=0}^{n-1}s^{-i}f^{(i)}(0)\right)-f^{(n)}(0)\\&=s^{n+1}F(s)-s^{n}\sum _{i=0}^{n-1}s^{-i}f^{(i)}(0)-f^{(n)}(0)\\&=s^{n+1}F(s)-s^{n}\sum _{i=0}^{n}s^{-i}f^{(i)}(0)\end{aligned}}$

Links

• http://www.youtube.com/watch?v=QIgmtx0xODs&feature=plcp