TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS14/Beispiel 134

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Berechnen Sie mit . Ist das Kurvenintegral wegunabhängig?

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wegunabhängigkeit
Wegunabhängigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Integrabilitätsbedingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein stetig differenzierbares Gradientenfeld erfüllt folgende s.g. Integrabilitätsbedingung:

In wären das also , und .

Dies ist hinreichend auf einfach zusammenhängenden Gebieten.

Einfach zusammenhängendes Gebiet[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gebiet[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine offene und zusammenhängende (und nichtleere) Teilmenge heißt Gebiet. "Zusammenhängend" bedeutet dabei, dass zu je zwei beliebigen Punkten eine Kurve existiert welche diese verbindet und "offen", dass es keine Randpunkte gibt.

In einem einfach zusammenhängenden Gebiet (siehe auch Definition eines Gebiets) lässt sich jede geschlossene Kurve stetig auf einen Punkt auf ihr "zusammenziehen". Oder noch salopper formuliert darf es keine "durchgehende Löcher" ("Henkel") geben (eine geschlossene Kurve würde sich dort herum nicht zu einem Punkt zusammenziehen lassen).

Im gehört der klassische Torus damit nicht dazu, allerdings schon eine Hochkugel. In darf es einfach keine vollständig umschlossenen Löcher geben.

Jedes Kurvenintegral von einem Gradientenfeld ist längs jeder stetig differenzierbaren Kurve wegunabhängig (Umkehrschluss gilt auch).

Wegunabhängigkeit eines Kurvenintegrals längs Kurve (wobei Gebiet auf welchem das Gradientenfeld ist) bedeutet:

  • dass ein solches Kurvenintegral allein durch Anfangs- und Endpunkt bestimmt ist
  • falls Kurve geschlossen ist, der Wert des Integrals 0 ergibt:
  • ist die Stammfunktion des Gradientenfelds dann gilt:
Kurvenintegral über stetiges Vektorfeld (Kurvenintegral zweiter Art)
Kurvenintegral über stetiges Vektorfeld (Kurvenintegral zweiter Art)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kurvenintegral des stetigen Vektorfelds längs der Kurve :

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

I.B. nicht erfüllt, also nicht wegunabhängig (für das weitere Lösen egal bei diesem Bsp., da vorgegeben wurde welcher Weg zu wählen ist).