TU Wien:Mathematische Methoden des Visual Computing VU (Panholzer)/Übungen SS14/Beispiel 134

Berechnen Sie $\int _{\vec {c}}(y^{2}\,\mathrm {d} x+x^{2}\,\mathrm {d} y)$ mit ${\vec {c}}(t)=\left(t,{\sqrt {t}}\right),0\leq t\leq 1$. Ist das Kurvenintegral wegunabhängig?

Hilfreiches

Wegunabhängigkeit

Integrabilitätsbedingung

Ein stetig differenzierbares Gradientenfeld $f$ erfüllt folgende s.g. Integrabilitätsbedingung:

${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}\quad \forall \,i,j\in \{1\dots n\}$ In $\mathbb {R} ^{3}$ wären das also ${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}$, ${\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}$.

Dies ist hinreichend auf einfach zusammenhängenden Gebieten.

Gebiet

Eine offene und zusammenhängende (und nichtleere) Teilmenge $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt Gebiet. "Zusammenhängend" bedeutet dabei, dass zu je zwei beliebigen Punkten eine Kurve existiert welche diese verbindet und "offen", dass es keine Randpunkte gibt.

In einem einfach zusammenhängenden Gebiet (siehe auch Definition eines Gebiets) lässt sich jede geschlossene Kurve stetig auf einen Punkt auf ihr "zusammenziehen". Oder noch salopper formuliert darf es keine "durchgehende Löcher" ("Henkel") geben (eine geschlossene Kurve würde sich dort herum nicht zu einem Punkt zusammenziehen lassen).

Im $\mathbb {R} ^{3}$ gehört der klassische Torus damit nicht dazu, allerdings schon eine Hochkugel. In $\mathbb {R} ^{2}$ darf es einfach keine vollständig umschlossenen Löcher geben.

Jedes Kurvenintegral von einem Gradientenfeld ist längs jeder stetig differenzierbaren Kurve wegunabhängig (Umkehrschluss gilt auch).

Wegunabhängigkeit eines Kurvenintegrals längs Kurve ${\vec {c}}:[a,b]\rightarrow D$ (wobei $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ Gebiet auf welchem das Gradientenfeld ist) bedeutet:

• dass ein solches Kurvenintegral allein durch Anfangs- und Endpunkt bestimmt ist
• falls Kurve geschlossen ist, der Wert des Integrals 0 ergibt: $\oint _{\vec {c}}{\vec {f}}({\vec {x}})\,\mathrm {d} {\vec {x}}=0$
• ist $F$ die Stammfunktion des Gradientenfelds dann gilt:

$\int _{\vec {c}}{\vec {f}}({\vec {x}})\,\mathrm {d} {\vec {x}}=F({\vec {c}}(b))-F({\vec {c}}(a))$

Kurvenintegral über stetiges Vektorfeld (Kurvenintegral zweiter Art)

Kurvenintegral über stetiges Vektorfeld (Kurvenintegral zweiter Art)

Kurvenintegral des stetigen Vektorfelds ${\vec {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ längs der Kurve ${\vec {c}}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$:

$\int _{\vec {c}}{\vec {f}}({\vec {x}})\,\mathrm {d} {\vec {x}}=\int _{a}^{b}\left(\sum _{k=1}^{n}f_{k}({\vec {c}}(t))\,c'_{k}(t)\right)\,\mathrm {d} t$

Lösungsvorschlag

$f(x,y)={\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y^{2}\\x^{2}\end{pmatrix}}$

${\frac {\partial y^{2}}{\partial y}}\neq {\frac {\partial x^{2}}{\partial x}}$

I.B. nicht erfüllt, also nicht wegunabhängig (für das weitere Lösen egal bei diesem Bsp., da vorgegeben wurde welcher Weg zu wählen ist).

${\vec {c}}'(t)=\left({\begin{array}{c}1\\{\tfrac {1}{2{\sqrt {t}}}}\end{array}}\right)$

$\int _{0}^{1}\left(t+{\frac {t^{2}}{2{\sqrt {t}}}}\right)\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}t\,\mathrm {d} t+{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}t^{\frac {3}{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{10}}={\frac {7}{10}}$