TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 164

Mit Hilfe des Resultats der vorhergehenden Aufgabe sowie geeigneter Rechenregeln für Fourierreihen bestimme man die Fourierentwicklung für den gleichgerichteten Cosinus $|\cos t|$ und für den gleichgerichteten Sinus $|\sin t|$ jeweils in Sinus-Cosinus-Form und in Exponentialform.

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Hilfreiches

Wenn $g(t)=f(t+a)$, dann ist $c_k^{(g)}=c_k^{(f)}\cdot e^{ik\omega a}$.

Wenn $h(t)=f(t)+g(t)$, dann ist $c_k^{(h)}=c_k^{(f)}+c_k^{(g)}$.

Lösungsvorschlag

Aus Beispiel 26 folgt für den einweggleichgerichteten Cosinus:

$c_k=c_{-k}=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\pi }& k=0\\ \frac{1}{4}& k=1\\ 0& k\text{ ist ungerade}\\ \frac{(-1{)}^{\frac{k}{2}}}{\pi (1-k^2)}& k\text{ ist gerade}\end{array}$

zweiweggleichgerichtete Cosinus

Der zweiweggleichgerichtete Cosinus ergibt sich durch simple Addion eines zweiten um $\pi$ verschobenen einweggleichgerichteten Cosinus:

$\begin{array}{cc}c{\text{'}}_k& =c{\text{'}}_{-k}=c_k+c_k\cdot e^{ik\pi }=c_k(1+e^{ik\pi })\\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\pi }(1+e^{i0\pi })& k=0\\ \frac{1}{4}(1+e^{i\pi })& k=1\\ 0\cdot (1+e^{ik\pi })& k\text{ ist ungerade}\\ \frac{(-1{)}^{\frac{k}{2}}}{\pi (1-k^2)}(1+e^{ik\pi })& k\text{ ist gerade}\end{array}\\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\pi }(1+1)& k=0\\ \frac{1}{4}(1-1)& k=1\\ 0\cdot (1-1)& k\text{ ist ungerade}\\ \frac{(-1{)}^{\frac{k}{2}}}{\pi (1-k^2)}(1+1)& k\text{ ist gerade}\end{array}\\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{2}{\pi }& k=0\\ 0& k\text{ ist ungerade}\\ \frac{2(-1{)}^{\frac{k}{2}}}{\pi (1-k^2)}& k\text{ ist gerade}\end{array}\end{array}$

$a{\text{'}}_k=c{\text{'}}_k+c{\text{'}}_{-k}=\{\begin{array}{cc}\frac{4}{\pi }& k=0\\ 0& k\text{ ist ungerade}\\ \frac{4(-1{)}^{\frac{k}{2}}}{\pi (1-k^2)}& k\text{ ist gerade}\end{array}$

$b{\text{'}}_k=c{\text{'}}_k-c{\text{'}}_{-k}=0$

zweiweggleichgerichtete Sinus

Der zweiweggleichgerichtete Sinus ist zum entsprechenden Cosinus um $\frac{\pi }{2}$ verschoben:

$\begin{array}{cc}{c}^{\prime }{\text{'}}_k& =c{\text{'}}_k\cdot e^{ik\frac{\pi }{2}}\\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{2}{\pi }{e}^{i0\frac{\pi }{2}}& k=0\\ 0\cdot e^{ik\frac{\pi }{2}}& k\text{ ist ungerade}\\ \frac{2(-1{)}^{\frac{k}{2}}}{\pi (1-k^2)}{e}^{ik\frac{\pi }{2}}& k\text{ ist gerade}\end{array}\\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{2}{\pi }& k=0\\ 0& k\text{ ist ungerade}\\ \frac{2(-1{)}^{\frac{k}{2}}}{\pi (1-k^2)}(-1{)}^{\frac{k}{2}}& k\text{ ist gerade}\end{array}\\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{2}{\pi }& k=0\\ 0& k\text{ ist ungerade}\\ \frac{2}{\pi (1-k^2)}& k\text{ ist gerade}\end{array}\end{array}$

$a^{\prime }{\text{'}}_k=c^{\prime }{\text{'}}_k+c^{\prime }{\text{'}}_{-k}=\{\begin{array}{cc}\frac{4}{\pi }& k=0\\ 0& k\text{ ist ungerade}\\ \frac{4}{\pi (1-k^2)}& k\text{ ist gerade}\end{array}$

$b^{\prime }{\text{'}}_k=c^{\prime }{\text{'}}_k-c^{\prime }{\text{'}}_{-k}=0$