TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 164

Mit Hilfe des Resultats der vorhergehenden Aufgabe sowie geeigneter Rechenregeln für Fourierreihen bestimme man die Fourierentwicklung für den gleichgerichteten Cosinus $|\cos t|$ und für den gleichgerichteten Sinus $|\sin t|$ jeweils in Sinus-Cosinus-Form und in Exponentialform.

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Hilfreiches

Wenn $g(t)=f(t+a)$, dann ist $c_{k}^{(g)}=c_{k}^{(f)}\cdot e^{ik\omega a}$.

Wenn $h(t)=f(t)+g(t)$, dann ist $c_{k}^{(h)}=c_{k}^{(f)}+c_{k}^{(g)}$.

Lösungsvorschlag

Aus Beispiel 26 folgt für den einweggleichgerichteten Cosinus:

$c_{k}=c_{-k}={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}&k=0\\{\frac {1}{4}}&k=1\\0&k{\text{ ist ungerade}}\\{\frac {(-1)^{\frac {k}{2}}}{\pi (1-k^{2})}}&k{\text{ ist gerade}}\end{cases}}$

zweiweggleichgerichtete Cosinus

Der zweiweggleichgerichtete Cosinus ergibt sich durch simple Addion eines zweiten um $\pi$ verschobenen einweggleichgerichteten Cosinus:

${\displaystyle {\begin{aligned}c'_{k}&=c'_{-k}=c_{k}+c_{k}\cdot e^{ik\pi }=c_{k}(1+e^{ik\pi })\\&={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}(1+e^{i0\pi })&k=0\\{\frac {1}{4}}(1+e^{i\pi })&k=1\\0\cdot (1+e^{ik\pi })&k{\text{ ist ungerade}}\\{\frac {(-1)^{\frac {k}{2}}}{\pi (1-k^{2})}}(1+e^{ik\pi })&k{\text{ ist gerade}}\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\frac {1}{\pi }}(1+1)&k=0\\{\frac {1}{4}}(1-1)&k=1\\0\cdot (1-1)&k{\text{ ist ungerade}}\\{\frac {(-1)^{\frac {k}{2}}}{\pi (1-k^{2})}}(1+1)&k{\text{ ist gerade}}\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}&k=0\\0&k{\text{ ist ungerade}}\\{\frac {2(-1)^{\frac {k}{2}}}{\pi (1-k^{2})}}&k{\text{ ist gerade}}\end{ca$

$a'_{k}=c'_{k}+c'_{-k}={\begin{cases}{\frac {4}{\pi }}&k=0\\0&k{\text{ ist ungerade}}\\{\frac {4(-1)^{\frac {k}{2}}}{\pi (1-k^{2})}}&k{\text{ ist gerade}}\end{cases}}$

$b'_{k}=c'_{k}-c'_{-k}=0$

zweiweggleichgerichtete Sinus

Der zweiweggleichgerichtete Sinus ist zum entsprechenden Cosinus um ${\frac {\pi }{2}}$ verschoben:

${\begin{aligned}c''_{k}&=c'_{k}\cdot e^{ik{\frac {\pi }{2}}}\\&={\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}e^{i0{\frac {\pi }{2}}}&k=0\\0\cdot e^{ik{\frac {\pi }{2}}}&k{\text{ ist ungerade}}\\{\frac {2(-1)^{\frac {k}{2}}}{\pi (1-k^{2})}}e^{ik{\frac {\pi }{2}}}&k{\text{ ist gerade}}\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}&k=0\\0&k{\text{ ist ungerade}}\\{\frac {2(-1)^{\frac {k}{2}}}{\pi (1-k^{2})}}(-1)^{\frac {k}{2}}&k{\text{ ist gerade}}\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}&k=0\\0&k{\text{ ist ungerade}}\\{\frac {2}{\pi (1-k^{2})}}&k{\text{ ist gerade}}\end{cases}}\end{aligned}}$

$a''_{k}=c''_{k}+c''_{-k}={\begin{cases}{\frac {4}{\pi }}&k=0\\0&k{\text{ ist ungerade}}\\{\frac {4}{\pi (1-k^{2})}}&k{\text{ ist gerade}}\end{cases}}$

$b''_{k}=c''_{k}-c''_{-k}=0$