TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 153

Man zeige, dass die Exponentialfunktionen $\{e^{ikt}|k\in \mathbb{Z}\}$ ein Orthogonalsystem im $ℂ$-Vektorraum der komplexwertigen $2\pi$-periodischen Funktionen bilden, d.h.

$⟨e^{ikt},e^{ilt}⟩={\int }_0^{2\pi }{e}^{ikt}\overline{e^{ilt}}\mathrm{d}t={\int }_0^{2\pi }{e}^{ikt}{e}^{-ilt}\mathrm{d}t=\{\begin{array}{cc}0& k\ne l\\ 2\pi & k=l\end{array}$

und leite daraus die Orthogonalität von $\cos (mt)$ und $\sin (nt)$ für alle $m,n\in \mathbb{N}$ her, d.h.

$⟨\cos mt,\sin nt⟩={\int }_0^{2\pi }\cos mt\sin nt\mathrm{d}t=0$

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Hilfreiches

Gerade und ungerade Funktion

Gerade und ungerade Funktion

Eine Funktion

• heißt gerade, falls $f(-x)=f(x)$. Anschaulich ist so eine Funktion an der y-Achse gespiegelt, Beispiel: Kosinus.
• heißt ungerade, falls $f(-x)=-f(x)$. Anschaulich ist so eine Funktion an der einen und dann an der anderen Achse gespiegelt, Beispiel: Sinus.

$\cos (-x)=\cos (x)$

$\sin (-x)=-\sin (x)$

Lösungsvorschlag

Für den Fall $k=l$ gilt folgendes:

${\int }_0^{2\pi }{e}^{ikt}{e}^{-ilt}\mathrm{d}t={\int }_0^{2\pi }1\mathrm{d}t=2\pi$

Für den Fall $k\ne l$ gilt folgendes:

$\begin{array}{cc}{\int }_0^{2\pi }{e}^{ikt}{e}^{-ilt}\mathrm{d}t& ={\int }_0^{2\pi }{e}^{i(k-l)t}\mathrm{d}t\\ & ={\frac{e^{i(k-l)t}}{i(k-l)}|}_0^{2\pi }\\ & =\frac{1}{i(k-l)}(\underset{=1}{\underbrace{e^{i(k-l)2\pi }}}-\underset{=1}{\underbrace{e^{i(k-l)0}}})\\ & =0\end{array}$

Daraus kann man nun folgendes ableiten:

$\begin{array}{cc}0& ={\int }_0^{2\pi }{e}^{int}{e}^{imt}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{2\pi }(\cos (nt)+i\sin (nt))\cdot (\cos (mt)+i\sin (mt))\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{2\pi }(\cos (nt)\cos (mt)+i\cos (mt)\sin (nt)+i\cos (nt)\sin (mt)-\sin (nt)\sin (mt))\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{2\pi }(\cos (nt)\cos (mt)-\sin (nt)\sin (mt))\mathrm{d}t+i{\int }_0^{2\pi }(\cos (mt)\sin (nt)+\cos (nt)\sin (mt))\mathrm{d}t\end{array}$

sowie

$\begin{array}{cc}0& ={\int }_0^{2\pi }{e}^{int}{e}^{-imt}\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{2\pi }(\cos (nt)+i\sin (nt))\cdot (\cos (-mt)+i\sin (-mt))\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{2\pi }(\cos (nt)\cos (-mt)+i\cos (-mt)\sin (nt)+i\cos (nt)\sin (-mt)-\sin (nt)\sin (-mt))\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{2\pi }(\cos (nt)\cos (mt)+\sin (nt)\sin (mt))\mathrm{d}t+i{\int }_0^{2\pi }(\cos (mt)\sin (nt)-\cos (nt)\sin (mt))\mathrm{d}t\end{array}$

Der jeweilige Vergleich der Imaginärteile liefert:

$0={\int }_0^{2\pi }(\cos (mt)\sin (nt)+\cos (nt)\sin (mt))\mathrm{d}t$

$0={\int }_0^{2\pi }(\cos (mt)\sin (nt)-\cos (nt)\sin (mt))\mathrm{d}t$

Durch Addition bzw. Subtraktion erhält man:

${\int }_0^{2\pi }\cos (mt)\sin (nt)\mathrm{d}t={\int }_0^{2\pi }\cos (nt)\sin (mt)\mathrm{d}t=0$

Hinweis: Das gilt sowohl für $n\ne m$, als auch für $n=m$, weil $\mathrm{\Im }\left(e^{int}{e}^{imt}\right)=0$ für alle $m,n\in \mathbb{N}$ gilt ($\mathrm{\Im }$= Imaginärteil).