TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 385

Man betrachte die Temperaturverteilung $u(x,t)$ eines Stabes der Länge $l$, welche an der Stelle $0\leq x\leq l$ zur Zeit $t\geq 0$ durch die homogene Wärmeleitungsgleichung

$u_{t}=\alpha ^{2}u_{xx}$

(mit einer Konstanten $\alpha >0$) beschrieben werden kann. Man löse nun mit Hilfe des Produktansatzes $u(x,t)=X(x)T(t)$ das folgende Rand-Anfangswert-Problem (für eine vorgegebene Funktion $f(x)$):

$u(x,0)=f(x)$ für $0\leq x\leq l$, $u(0,t)=u(l,t)=0$ für $t\geq 0$.

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Hilfreiches

Produktansatz

Produktansatz

Beim Produktansatz trachtet man danach ein multiplikative Trennung der Variablen herbeizuführen:

$u(x,y)=X(x)\cdot Y(y)$

Lösungsvorschlag

${\begin{aligned}XT'&=\alpha ^{2}X''T\\{\frac {T'}{\alpha ^{2}T}}&={\frac {X''}{X}}=k\end{aligned}}$

Für die $t$-Seite ergibt das

${\begin{aligned}{\frac {T'}{\alpha ^{2}T}}&=k\\{\frac {T'}{T}}&=\alpha ^{2}k\\\ln |T|&=\alpha ^{2}kt+{\tilde {C}}_{1}\\T&={\tilde {C}}_{1}\cdot e^{\alpha ^{2}kt}\end{aligned}}$

für die $x$-Seite

${\begin{aligned}{\frac {X''}{X}}&=k\\X''-kX&=0\\\end{aligned}}$

was über die charakteristische Gleichung $\lambda ^{2}-k=0$ (mit der Lösung $\lambda ={\sqrt {k}}=n$) zu

$X_{n}={\tilde {C}}_{2}\cos nx+{\tilde {C}}_{3}\sin nx$

führt und somit folgendes ergibt:

${\begin{aligned}u_{n}(x,t)&=T_{n}\cdot X_{n}\\&={\tilde {C}}_{1}\cdot e^{\alpha ^{2}n^{2}t}({\tilde {C}}_{2}\cos nx+{\tilde {C}}_{3}\sin nx)\\&=e^{\alpha ^{2}n^{2}t}(C_{1}\cos nx+C_{2}\sin nx)\\\end{aligned}}$

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{\alpha ^{2}n^{2}t}(C_{1n}\cos nx+C_{2n}\sin nx)$

Mit den vorgegebenen Anfangsbedingung ergibt sich durch

${\begin{aligned}u(x,0)&=f(x)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\underbrace {e^{\alpha ^{2}n^{2}0}} _{=1}(C_{1n}\cos nx+C_{2n}\sin nx)\\f(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(C_{1n}\cos nx+C_{2n}\sin nx)\end{aligned}}$

und aufgrund von $u(0,t)=u(l,t)=0$, dass der Kosinus-Teil $0$ sein muss und somit $f(x)$ eine ungerade Funktion sein muss. Das führt zu

$C_{1n}=0$

$C_{2n}=f_{n}={\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}f(x)\sin {\frac {2\pi n}{l}}\,\mathrm {d} x$.