TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 385

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Man betrachte die Temperaturverteilung eines Stabes der Länge , welche an der Stelle zur Zeit durch die homogene Wärmeleitungsgleichung

(mit einer Konstanten ) beschrieben werden kann. Man löse nun mit Hilfe des Produktansatzes das folgende Rand-Anfangswert-Problem (für eine vorgegebene Funktion ):

für , für .
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Produktansatz
Produktansatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim Produktansatz trachtet man danach ein multiplikative Trennung der Variablen herbeizuführen:

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die -Seite ergibt das

für die -Seite

was über die charakteristische Gleichung (mit der Lösung ) zu

führt und somit folgendes ergibt:

Mit den vorgegebenen Anfangsbedingung ergibt sich durch

und aufgrund von , dass der Kosinus-Teil sein muss und somit eine ungerade Funktion sein muss. Das führt zu

.