TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 387

Man finde Lösungen der Potentialgleichung $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$ auf einer Kreisscheibe. Dazu transformiere man die Gleichung auf Polarkoordinaten und bestimme Lösungen der transformierten Gleichung mittels eines Produktansatzes. (Anfangs- oder Randbedingungen sind nicht zu berücksichtigen.)

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Hilfreiches

Produktansatz

Produktansatz

Beim Produktansatz trachtet man danach ein multiplikative Trennung der Variablen herbeizuführen:

$u(x,y)=X(x)\cdot Y(y)$

Summensatz für Kosinus:

$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

Lösungsvorschlag

Das Transformieren auf Polarkoordinaten ergbit

$x=r\cos \phi$ und $y=r\sin \phi$

und somit für die Umkehrfunktionen und Ableitungen:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$r_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$r_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$r_{xx}=\frac{y^2}{(x^2+y^2{)}^{\frac{3}{2}}}$

$r_{yy}=\frac{x^2}{(x^2+y^2{)}^{\frac{3}{2}}}$

$\phi =\arctan \frac{y}{x}$

${\phi }_x=-\frac{y}{x^2+y^2}$

${\phi }_y=\frac{x}{x^2+y^2}$

${\phi }_{xx}=\frac{2xy}{(x^2+y^2{)}^2}$

${\phi }_{yy}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2{)}^2}$

$U(r,\phi )=u(r\cos \phi ,r\sin \phi )=u(x,y)$ führt zur Nebenbedingung $U(r_0,\phi )=f(\phi )$ mit einer $2\pi$-periodischen Funktion $f(\phi )$. Umrechnen der Potentialgleichung in Polarkoordinaten führt durch mehrfache Anwenden der Kettenregel

$u_x=r_x{U}_r+{\phi }_x{U}_{\phi }$

$u_y=r_y{U}_r+{\phi }_y{U}_{\phi }$

$\begin{array}{cc}{u}_{xx}& =r_x^2{U}_{rr}+r_x{\phi }_x{U}_{r\phi }+{\phi }_x{r}_x{U}_{r\phi }+{\phi }_x^2{U}_{\phi \phi }+r_{xx}{U}_r+{\phi }_{xx}{U}_{\phi }\\ & =r_x^2{U}_{rr}+2r_x{\phi }_x{U}_{r\phi }+{\phi }_x^2{U}_{\phi \phi }+r_{xx}{U}_r+{\phi }_{xx}{U}_{\phi }\end{array}$

$\begin{array}{cc}{u}_{yy}& =r_y^2{U}_{rr}+r_y{\phi }_y{U}_{r\phi }+{\phi }_y{r}_y{U}_{r\phi }+{\phi }_y^2{U}_{\phi \phi }+r_{yy}{U}_r+{\phi }_{yy}{U}_{\phi }\\ & =r_y^2{U}_{rr}+2r_y{\phi }_y{U}_{r\phi }+{\phi }_y^2{U}_{\phi \phi }+r_{yy}{U}_r+{\phi }_{yy}{U}_{\phi }\end{array}$

$\begin{array}{cc}0& =u_{xx}+u_{yy}\\ & =(r_x^2+r_y^2)U_{rr}+2({\phi }_x{r}_x+{\phi }_y{r}_y)U_{r\phi }+({\phi }_x^2+{\phi }_y^2)U_{\phi \phi }+(r_{xx}+r_{yy})U_r+({\phi }_{xx}+{\phi }_{yy})U_{\phi }\\ & =U_{rr}+\frac{1}{r}{U}_r+\frac{1}{r^2}{U}_{\phi \phi }\end{array}$

Diese letzte Gleichung kann mensch über den Produktansatz

$U(r,\phi )=F(r)\cdot G(\phi )$

lösen was eingesetzt

$F^{″}(r)G(\phi )+\frac{1}{r^2}F(r)G^{″}(\phi )+\frac{1}{r}{F}^{\prime }(r)G(\phi )=0$

ergibt und nach Division durch $F(r)G(\phi )$ und Trennung der Variable zu folgendem führt:

$\frac{r^2{F}^{″}(r)}{F(r)}+\frac{r{F}^{\prime }(r)}{F(r)}=-\frac{G^{″}(\phi =}{G(\phi )}=\lambda$

Da $r$ und $\phi$ jeweils nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen, ergeben sich folgende, nur mit einer Konstanten $\lambda$ gekoppelte, Differenzialgleichungen:

$G^{″}(\phi )+\lambda G(\phi )=0$ und $r^2{F}^{″}(r)+r{F}^{\prime }(r)-\lambda F(r)=0$

Die Lösung für $G(\phi )$ ergibt

$G(\phi )=A\cos (\sqrt{\lambda }\phi )+B\sin (\sqrt{\lambda }\phi )$

was unter Berücksichung der Bedingung das die Funktion $2\pi$ periodisch sein muss, mit $\lambda =n^2$ zu folgendem führt:

$G_n(\phi )=A_n\cos (n\phi )+B_n\sin (n\phi )$

$F(r)$ kann mit dem Ansatz $F(r)=r^{\alpha }$ behandelt werden

$\begin{array}{cc}{r}^2{F}^{″}(r)+r{F}^{\prime }(r)-\lambda F(r)& =0\\ r^2\alpha (\alpha -1)r^{\alpha -2}+r\alpha r^{\alpha -1}-\lambda r^{\alpha }& =0\\ \alpha (\alpha -1)r^{\alpha }+\alpha r^{\alpha }-\lambda r^{\alpha }& =0\\ \alpha (\alpha -1)+\alpha -\lambda & =0\\ {\alpha }^2-\alpha +\alpha & =\lambda \\ {\alpha }^2& =\lambda =n^2\\ \alpha & =n\end{array}$

und führt zu

$F(r)=r^n$

Somit bekommt mensch nun die Lösungen

$\begin{array}{cc}{U}_n(r,\phi )& =F(r)\cdot G(\phi )\\ & =r^n(A_n\cos (n\phi )+B_n\sin (n\phi ))\end{array}$

und durch Superposition

$U(r,\phi )=A_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^n(A_n\cos (n\phi )+B_n\sin (n\phi ))$

was noch $U(r_0,\phi )=f(\phi )$ erfüllen muss. Unter Betrachtung der Fourier-Reihen-Entwicklung $f(\phi )=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos (n\phi )+b_n\sin (n\phi ))$ kann mensch einen Koeffezientenverleich anstellen und bekommt

$A_0=\frac{a_0}{2}$, $A_n=\frac{a_n}{r_0^n}$ und $B_n=\frac{b_n}{r_0^n}$

und weiter

$\begin{array}{cc}U(r,\phi )& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos (n\phi )+b_n\sin (n\phi )){\left(\frac{r}{r_0}\right)}^n\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\mathrm{d}t+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\cos (nt)\mathrm{d}t\cos (n\phi )+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\sin (nt)\mathrm{d}t\sin (n\phi ))\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)(1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\cos (nt)\cos (n\phi )+\sin (nt)\sin (n\phi )){\left(\frac{r}{r_0}\right)}^n\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)(1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (n(t-\phi ))){\left(\frac{r}{r_0}\right)}^n\mathrm{d}t\end{array}$

Die auftretende Summe kann noch wie folgt vereinfacht werden

$\begin{array}{cc}1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (n(t-\phi )){\left(\frac{r}{r_0}\right)}^n& =\mathrm{\Re }(1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{r}{r_0}{e}^{i(t-\phi )}\right)}^n)\\ & =\mathrm{\Re }(1+2\frac{\frac{r}{r_0}{e}^{i(t-\phi )}}{1-\frac{r}{r_0}{e}^{i(t-\phi )}})\\ & =\mathrm{\Re }(1+2\frac{r{e}^{i(t-\phi )}}{r_0-r{e}^{i(t-\phi )}})\\ & =\mathrm{\Re }\left(\frac{r_0+r{e}^{i(t-\phi )}}{r_0-r{e}^{i(t-\phi )}}\right)\\ & =\mathrm{\Re }\left(\frac{r_0+r\cos (t-\phi )+ir\sin (t-\phi )}{r_0-r\cos (t-\phi )-ir\sin (t-\phi )}\right)\\ & =\mathrm{\Re }\left(\frac{r_0^2-r^2+2i{r}_{0}r\sin (t-\phi )}{r_0^2-2r_{0}r\cos (t-\phi )+r^2}\right)\\ & =\frac{r_0^2-r^2}{r_0^2-2r_{0}r\cos (t-\phi )+r^2}\end{array}$

was dann gesamt zu folgender Lösung führt:

$U(r,\phi )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)\frac{r_0^2-r^2}{r_0^2-2r_{0}r\cos (t-\phi )+r^2}\mathrm{d}t$