Man finde Lösungen der Potentialgleichung
auf einer Kreisscheibe. Dazu transformiere man die Gleichung auf Polarkoordinaten und bestimme Lösungen der transformierten Gleichung mittels eines Produktansatzes. (Anfangs- oder Randbedingungen sind nicht zu berücksichtigen.)
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- Produktansatz
Beim Produktansatz trachtet man danach ein multiplikative Trennung der Variablen herbeizuführen:
Summensatz für Kosinus:
Das Transformieren auf Polarkoordinaten ergbit
und
und somit für die Umkehrfunktionen und Ableitungen:
führt zur Nebenbedingung
mit einer
-periodischen Funktion
. Umrechnen der Potentialgleichung in Polarkoordinaten führt durch mehrfache Anwenden der Kettenregel
Diese letzte Gleichung kann mensch über den Produktansatz
lösen was eingesetzt
ergibt und nach Division durch
und Trennung der Variable zu folgendem führt:
Da
und
jeweils nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen, ergeben sich folgende, nur mit einer Konstanten
gekoppelte, Differenzialgleichungen:
und
Die Lösung für
ergibt
was unter Berücksichung der Bedingung das die Funktion
periodisch sein muss, mit
zu folgendem führt:
kann mit dem Ansatz
behandelt werden
und führt zu
Somit bekommt mensch nun die Lösungen
und durch Superposition
was noch
erfüllen muss. Unter Betrachtung der Fourier-Reihen-Entwicklung
kann mensch einen Koeffezientenverleich anstellen und bekommt
,
und
und weiter
Die auftretende Summe kann noch wie folgt vereinfacht werden