TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 387

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Man finde Lösungen der Potentialgleichung auf einer Kreisscheibe. Dazu transformiere man die Gleichung auf Polarkoordinaten und bestimme Lösungen der transformierten Gleichung mittels eines Produktansatzes. (Anfangs- oder Randbedingungen sind nicht zu berücksichtigen.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Produktansatz
Produktansatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim Produktansatz trachtet man danach ein multiplikative Trennung der Variablen herbeizuführen:

Summensatz für Kosinus:

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Transformieren auf Polarkoordinaten ergbit

und

und somit für die Umkehrfunktionen und Ableitungen:

führt zur Nebenbedingung mit einer -periodischen Funktion . Umrechnen der Potentialgleichung in Polarkoordinaten führt durch mehrfache Anwenden der Kettenregel

Diese letzte Gleichung kann mensch über den Produktansatz

lösen was eingesetzt

ergibt und nach Division durch und Trennung der Variable zu folgendem führt:

Da und jeweils nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen, ergeben sich folgende, nur mit einer Konstanten gekoppelte, Differenzialgleichungen:

und

Die Lösung für ergibt

was unter Berücksichung der Bedingung das die Funktion periodisch sein muss, mit zu folgendem führt:

kann mit dem Ansatz behandelt werden

und führt zu

Somit bekommt mensch nun die Lösungen

und durch Superposition

was noch erfüllen muss. Unter Betrachtung der Fourier-Reihen-Entwicklung kann mensch einen Koeffezientenverleich anstellen und bekommt

, und

und weiter

Die auftretende Summe kann noch wie folgt vereinfacht werden