TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 422

Wie lautet die natürliche kubische Splinefunktion, welche die Wertepaare aus der vorhergehenden Aufgabe interpoliert? Man vergleiche die Funktionswerte für $x=1,3,5$ mit denen des kubischen Interpolationspolynoms.

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{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungsvorschlag

Die Wertepaare aus der vorherigen Aufgabe lauten: (0,180), (2,240), (4,320) und (6,360). ($x_0=0,x_1=2,x_2=4,x_3=6$).

Nun wird für jeden Teilintervall das Splinepolynom konstruriert.
$\begin{array}{cc}{S}_1(x)& =a_1+b_1\cdot (x-x_1)+c_1\cdot (x-x_1{)}^2+d_1\cdot (x-x_1{)}^3\\ & =a_1+b_1\cdot (x-2)+c_1\cdot (x-2{)}^2+d_1\cdot (x-2{)}^3\\ S_2(x)& =a_2+b_2\cdot (x-x_2)+c_2\cdot (x-x_2{)}^2+d_2\cdot (x-x_2{)}^3\\ & =a_2+b_2\cdot (x-4)+c_2\cdot (x-4{)}^2+d_2\cdot (x-4{)}^3\\ S_3(x)& =a_3+b_3\cdot (x-x_3)+c_3\cdot (x-x_3{)}^2+d_3\cdot (x-x_3{)}^3\\ & =a_3+b_3\cdot (x-6)+c_3\cdot (x-6{)}^2+d_3\cdot (x-6{)}^3\end{array}$

Um die Koffizienten $a_j,b_j,c_j,d_j$ zu bestimmen werden für jedes Polynom 4 Bedingungen benötigt. Grundvoraussetzung ist das die Endpunkte der Intervalle übereinstimmen. Dadurch bekommen wir jeweils 2 Bedinungen:
$\begin{array}{cc}{S}_1(x_0)& =y_0\\ a_1+b_1\cdot (-2)+c_1\cdot 4+d_1\cdot (-8)& =180\\ S_1(x_1)& =y_1\\ a_1+b_1\cdot 0+c_1\cdot 0+d_1\cdot 0& =240\\ a_1& =240\\ \\ S_2(x_1)& =y_1\\ a_2+b_2\cdot (-2)+c_2\cdot 4+d_2\cdot (-8)& =240\\ S_2(x_2)& =y_2\\ a_2+b_2\cdot 0+c_2\cdot 0+d_2\cdot 0& =320\\ a_2& =320\\ \\ S_3(x_2)& =y_2\\ a_3+b_3\cdot (-2)+c_3\cdot 4+d_3\cdot (-8)& =320\\ S_3(x_3)& =y_3\\ a_3+b_3\cdot 0+c_3\cdot 0+d_3\cdot 0& =360\\ a_3& =360\end{array}$

Weiters müssen die Splines an den inneren Stützstellen (2,240), (4,320) zweimal stetig differenzierbar sein:
$\begin{array}{cc}{S_1}^{\prime }(x_1)& ={S_2}^{\prime }(x_1)\\ b_1+2c_1\cdot (x_1-2)+3d_1\cdot (x_1-2{)}^2& =b_2+2c_2\cdot (x_1-4)+3d_2\cdot (x_1-4{)}^2\\ b_1+2c_1\cdot 0+3d_1\cdot 0& =b_2+2c_2\cdot (-2)+3d_2\cdot 4\\ b_1& =b_2-4c_2+12d_2\\ \\ {S_1}^{″}(x_1)& ={S_2}^{″}(x_1)\\ 2c_1+6d_1\cdot (x_1-2)& =2c_2+6d_2\cdot (x_1-4)\\ 2c_1+6d_1\cdot 0& =2c_2+6d_2\cdot (-2)\\ 2c_1& =2c_2-12d_2\cdot \\ \\ {S_2}^{\prime }(x_2)& ={S_3}^{\prime }(x_2)\\ b_2+2c_2\cdot (x_2-4)+3d_2\cdot (x_2-4{)}^2& =b_3+2c_3\cdot (x_2-6)+3d_3\cdot (x_2-6{)}^2\\ b_2+2c_2\cdot 0+3d_2\cdot 0& =b_3+2c_3\cdot (-2)+3d_3\cdot 4\\ b_2& =b_3-4c_3+12d_3\\ \\ {S_2}^{″}(x_2)& ={S_3}^{″}(x_2)\\ 2c_2+6d_2\cdot (x_2-4)& =2c_3+6d_3\cdot (x_2-6)\\ 2c_2+6d_2\cdot 0& =2c_3+6d_3\cdot (-2)\\ 2c_2& =2c_3-12d_3\\ \end{array}$

Nun fehlen uns noch die Randbedingungen, da wir einen natürlichen Spline suchen wählen wir einen freien Rand und kommen auf unsere letzten beiden Bedingungen:
$\begin{array}{cc}{S_1}^{″}(x_0)& =0\\ 2c_1+6d_1\cdot (x_0-2)& =0\\ 2c_1-12d_1& =0\\ {S_3}^{″}(x_3)& =0\\ 2c_3+6d_3\cdot (x_3-6)& =0\\ 2c_3+6d_3\cdot 0& =0\\ 2c_3& =0\\ c_3& =0\end{array}$

Gleichungungsystem

Nun haben wir bereits 4 der gesuchten Koeffizienten:
$a_1=240,a_2=320,a_3=360,c_3=0$

Für die restlichen 8 Koeffizienten bauen wir hier das Gleichungsystem auf $\left(\begin{array}{cccccccc}-2& 0& 0& 4& 0& -8& 0& 0\\ 0& -2& 0& 0& 4& 0& -8& 0\\ 0& 0& -2& 0& 0& 0& 0& -8\\ 1& -1& 0& 0& 4& 0& -12& 0\\ 0& 0& 0& 2& -2& 0& 12& 0\\ 0& 1& -1& 0& 0& 0& 0& -12\\ 0& 0& 0& 0& 2& 0& 0& 12\\ 0& 0& 0& 2& 0& -12& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\\ c_1\\ c_2\\ d_1\\ d_2\\ d_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-60\\ -80\\ -40\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Lösung mittels Octave:
octave:4> A = [-2,0,0,4,0,-8,0,0;
0,-2,0,0,4,0,-8,0;
0,0,-2,0,0,0,0,-8;
1,-1,0,0,4,0,-12,0;
0,0,0,2,-2,0,12,0;
0,1,-1,0,0,0,0,-12;
0,0,0,0,2,0,0,12;
0,0,0,2,0,-12,0,0];
octave:5> b = [-60;-80;-40;0;0;0;0;0];
octave:6> x = A \ b
x =

  38.0000
  32.0000
  14.0000
   6.0000
  -9.0000
   1.0000
  -2.5000
   1.5000

Die restlichen Koeffizienten sind also:
$b_1=38,b_2=32,b_3=14,c_1=6,c_2=-9,d_1=1,d_2=-2.5,d_3=1.5$

Die Spline Polynome mit eingesetzten Werten lauten also:
$\begin{array}{cc}{S}_1(x)& =240+38\cdot (x-2)+6\cdot (x-2{)}^2+(x-2{)}^3\\ S_2(x)& =320+32\cdot (x-4)-9\cdot (x-4{)}^2-2.5\cdot (x-4{)}^3\\ S_3(x)& =360+14\cdot (x-6)+1.5\cdot (x-6{)}^3\end{array}$

Gezeichnet sehen die Splines folgendermaßen aus: Plot der Splines (WolframAlpha)

Oder so: Datei:TU Wien-Analysis 2 UE (diverse)-Übungen SS12-Beispiel 71 - Spline 71.pdf

Überprüfung der Punkte $x=1,3,5$
$240+38\cdot (1-2)+6\cdot (1-2{)}^2+(1-2{)}^3=207$
$320+32\cdot (3-4)-9\cdot (3-4{)}^2-2.5\cdot (3-4{)}^3=281.5$
$360+14\cdot (5-6)+1.5\cdot (5-6{)}^3=344.5$

Referenzen

Spline-Interpolation (Wikipedia)