TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 99

Man berechne das Bereichsintegral $\iiint _{B}x^{2}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z$, wobei $B\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Hohlzylinder

$B=\left\{(x,y,z)|1\leq x^{2}+y^{2}\leq 2,\ 1\leq z\leq 2\right\}$

ist.

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Um Integrieren zu können wenden wir folgende Substitution an:

$x=r\cdot \cos \varphi$

$y=r\cdot \sin \varphi$

$z=s$

Der dazugehörige Bereich $B'$:

$1\leq r\leq {\sqrt {2}}$

$0\leq \varphi \leq 2\pi$

$1\leq s\leq 2$

Für die Substitution müssen die Integrations-Domänen neu bestimmt werden (Determinante der Funktionsmatrix):

$\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z={\begin{vmatrix}x_{r}&x_{\varphi }&x_{s}\\y_{r}&y_{\varphi }&y_{s}\\z_{r}&z_{\varphi }&z_{s}\\\end{vmatrix}}\mathrm {d} r\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} s$

${\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\cdot \sin \varphi &0\\\sin \varphi &r\cdot \cos \varphi &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=r\cdot \cos ^{2}\varphi +r\cdot \sin ^{2}\varphi =r\cdot \underbrace {(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )} _{=1}=r$

Damit erhalten wir

${\begin{aligned}\iiint _{B}x^{2}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z&=\iiint _{B'}(r\cdot \cos \varphi )^{2}\cdot r\,\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} r\mathrm {d} s\\&=\int _{s=1}^{2}\int _{r=1}^{\sqrt {2}}r^{3}\cdot \underbrace {\left(\int _{\varphi =0}^{2\pi }\cos ^{2}\varphi \,\mathrm {d} \varphi \right)} _{\left.{\frac {\varphi +\sin \varphi \cdot \cos \varphi }{2}}\right|_{\varphi =0}^{2\pi }=\pi }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} s\\&=\int _{s=1}^{2}\underbrace {\left(\int _{r=1}^{\sqrt {2}}r^{3}\cdot \pi \,\mathrm {d} r\right)} _{\left.{\frac {r^{4}\cdot \pi }{4}}\right|_{r=1}^{\sqrt {2}}={\frac {3\pi }{4}}}\,\mathrm {d} s\\&=\int _{s=1}^{2}{\frac {3\pi }{4}}\,\mathrm {d} s\\&=\left.{\frac {3\pi s}{4}}\right|_{s=1}^{2}\\&={\frac {3\pi }{4}}\end{aligned}}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 127 (ähnliches Beispiel)