Man betrachte die Temperaturverteilung
eines Stabes der Länge
, welche an der Stelle
zur Zeit
durch die homogene Wärmeleitungsgleichung
(mit einer Konstanten
) beschrieben werden kann. Man löse nun mit Hilfe des Produktansatzes
das folgende Rand-Anfangswert-Problem (für eine vorgegebene Funktion
):
für
,
für
.
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
- Produktansatz
Beim Produktansatz trachtet man danach ein multiplikative Trennung der Variablen herbeizuführen:
Für die
-Seite ergibt das
für die
-Seite
was über die charakteristische Gleichung
(mit der Lösung
) zu
führt und somit folgendes ergibt:
Mit den vorgegebenen Anfangsbedingung ergibt sich durch
und aufgrund von
, dass der Kosinus-Teil
sein muss und somit
eine ungerade Funktion sein muss. Das führt zu
.