TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 387

Man finde Lösungen der Potentialgleichung $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$ auf einer Kreisscheibe. Dazu transformiere man die Gleichung auf Polarkoordinaten und bestimme Lösungen der transformierten Gleichung mittels eines Produktansatzes. (Anfangs- oder Randbedingungen sind nicht zu berücksichtigen.)

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Hilfreiches

Produktansatz

Produktansatz

Beim Produktansatz trachtet man danach ein multiplikative Trennung der Variablen herbeizuführen:

$u(x,y)=X(x)\cdot Y(y)$

Summensatz für Kosinus:

$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

Lösungsvorschlag

Das Transformieren auf Polarkoordinaten ergbit

$x=r\cos \varphi$ und $y=r\sin \varphi$

und somit für die Umkehrfunktionen und Ableitungen:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$r_{x}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

$r_{y}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

$r_{xx}={\frac {y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac {3}{2}}}}$

$r_{yy}={\frac {x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\frac {3}{2}}}}$

$\varphi =\arctan {\frac {y}{x}}$

$\varphi _{x}=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$

$\varphi _{y}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}$

$\varphi _{xx}={\frac {2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

$\varphi _{yy}=-{\frac {2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

$U(r,\varphi )=u(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )=u(x,y)$ führt zur Nebenbedingung $U(r_{0},\varphi )=f(\varphi )$ mit einer $2\pi$-periodischen Funktion $f(\varphi )$. Umrechnen der Potentialgleichung in Polarkoordinaten führt durch mehrfache Anwenden der Kettenregel

$u_{x}=r_{x}U_{r}+\varphi _{x}U_{\varphi }$

$u_{y}=r_{y}U_{r}+\varphi _{y}U_{\varphi }$

${\begin{aligned}u_{xx}&=r_{x}^{2}U_{rr}+r_{x}\varphi _{x}U_{r\varphi }+\varphi _{x}r_{x}U_{r\varphi }+\varphi _{x}^{2}U_{\varphi \varphi }+r_{xx}U_{r}+\varphi _{xx}U_{\varphi }\\&=r_{x}^{2}U_{rr}+2r_{x}\varphi _{x}U_{r\varphi }+\varphi _{x}^{2}U_{\varphi \varphi }+r_{xx}U_{r}+\varphi _{xx}U_{\varphi }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}u_{yy}&=r_{y}^{2}U_{rr}+r_{y}\varphi _{y}U_{r\varphi }+\varphi _{y}r_{y}U_{r\varphi }+\varphi _{y}^{2}U_{\varphi \varphi }+r_{yy}U_{r}+\varphi _{yy}U_{\varphi }\\&=r_{y}^{2}U_{rr}+2r_{y}\varphi _{y}U_{r\varphi }+\varphi _{y}^{2}U_{\varphi \varphi }+r_{yy}U_{r}+\varphi _{yy}U_{\varphi }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}0&=u_{xx}+u_{yy}\\&=(r_{x}^{2}+r_{y}^{2})U_{rr}+2(\varphi _{x}r_{x}+\varphi _{y}r_{y})U_{r\varphi }+(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2})U_{\varphi \varphi }+(r_{xx}+r_{yy})U_{r}+(\varphi _{xx}+\varphi _{yy})U_{\varphi }\\&=U_{rr}+{\frac {1}{r}}U_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{\varphi \varphi }\end{aligned}}$

Diese letzte Gleichung kann mensch über den Produktansatz

$U(r,\varphi )=F(r)\cdot G(\varphi )$

lösen was eingesetzt

$F''(r)G(\varphi )+{\frac {1}{r^{2}}}F(r)G''(\varphi )+{\frac {1}{r}}F'(r)G(\varphi )=0$

ergibt und nach Division durch $F(r)G(\varphi )$ und Trennung der Variable zu folgendem führt:

${\frac {r^{2}F''(r)}{F(r)}}+{\frac {rF'(r)}{F(r)}}=-{\frac {G''(\varphi =}{G(\varphi )}}=\lambda$

Da $r$ und $\varphi$ jeweils nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen, ergeben sich folgende, nur mit einer Konstanten $\lambda$ gekoppelte, Differenzialgleichungen:

$G''(\varphi )+\lambda G(\varphi )=0$ und $r^{2}F''(r)+rF'(r)-\lambda F(r)=0$

Die Lösung für $G(\varphi )$ ergibt

$G(\varphi )=A\cos({\sqrt {\lambda }}\varphi )+B\sin({\sqrt {\lambda }}\varphi )$

was unter Berücksichung der Bedingung das die Funktion $2\pi$ periodisch sein muss, mit $\lambda =n^{2}$ zu folgendem führt:

$G_{n}(\varphi )=A_{n}\cos(n\varphi )+B_{n}\sin(n\varphi )$

$F(r)$ kann mit dem Ansatz $F(r)=r^{\alpha }$ behandelt werden

${\begin{aligned}r^{2}F''(r)+rF'(r)-\lambda F(r)&=0\\r^{2}\alpha (\alpha -1)r^{\alpha -2}+r\alpha r^{\alpha -1}-\lambda r^{\alpha }&=0\\\alpha (\alpha -1)r^{\alpha }+\alpha r^{\alpha }-\lambda r^{\alpha }&=0\\\alpha (\alpha -1)+\alpha -\lambda &=0\\\alpha ^{2}-\alpha +\alpha &=\lambda \\\alpha ^{2}&=\lambda =n^{2}\\\alpha &=n\end{aligned}}$

und führt zu

$F(r)=r^{n}$

Somit bekommt mensch nun die Lösungen

${\begin{aligned}U_{n}(r,\varphi )&=F(r)\cdot G(\varphi )\\&=r^{n}(A_{n}\cos(n\varphi )+B_{n}\sin(n\varphi ))\end{aligned}}$

und durch Superposition

$U(r,\varphi )=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r^{n}(A_{n}\cos(n\varphi )+B_{n}\sin(n\varphi ))$

was noch $U(r_{0},\varphi )=f(\varphi )$ erfüllen muss. Unter Betrachtung der Fourier-Reihen-Entwicklung $f(\varphi )={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(n\varphi )+b_{n}\sin(n\varphi ))$ kann mensch einen Koeffezientenverleich anstellen und bekommt

$A_{0}={\frac {a_{0}}{2}}$, $A_{n}={\frac {a_{n}}{r_{0}^{n}}}$ und $B_{n}={\frac {b_{n}}{r_{0}^{n}}}$

und weiter

Die auftretende Summe kann noch wie folgt vereinfacht werden

$U(r,\varphi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t){\frac {r_{0}^{2}-r^{2}}{r_{0}^{2}-2r_{0}r\cos(t-\varphi )+r^{2}}}\mathrm {d} t$