TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 53

Gesucht ist das absolute Maximum der Funktion $f(x,y)=xy(3-x-y)$ auf dem Definitionsbereich $D=\{(x,y)|x\ge 0,y\ge 0,y\le 3-x\}$.

(Anleitung: Man skizziere den Definitionsbereich D in der (x,y)-Ebene, bestimme dessen Rand und ermittle alle Funktionswerte auf dem Rand. Das absolute Maximum ist dann unter den relativen Maxima im Inneren von D sowie unter den Funktionswerten am Rand von D zu suchen.)

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Hilfreiches

Kurvendiskussion

Kurvendiskussion

Nullstellen:

$f(x)=0$

Extremwerte:

$f^{\prime }(x)=0$

• Maximum, falls $f^{″}(x)<0$
• Minimum, falls $f^{″}(x)>0$
• Sattelpunkt, falls $f^{″}(x)=0$

Wendepunkte:

$f^{″}(x)=0$ und $f^{‴}(x)\ne 0$

Konvexität:

• Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen), falls $f^{″}(x)>0$
• Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen), falls $f^{″}(x)<0$

In der Wikipedia findet sich dazu ein langer Artikel.

Für Funktionen in zwei Parametern gehen die Bedingungen aus hilfreichen PDF von Dr. Thomas Zehrt der Universität Basel auf Seite 6 hervor.

Für eine Maximalstelle muss demnach gelten: $f_x=f_y=0$ wobei $f_{xx}<0;f_{yy}<0$ und zusätzlich $f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^2>0$

Für eine Minimalstelle muss demnach gelten: $f_x=f_y=0$ wobei $f_{xx}>0;f_{yy}>0$ und zusätzlich $f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^2>0$

Für einen Sattelpunkt muss demnach gelten: $f_x=f_y=0$ wobei $f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^2<0$

Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 12:32, 29. Sep. 2021 (CEST)

Schritt 1: Ableiten

$f(x,y)=xy(3-x-y)=3xy-x^{2}y-x{y}^2$

$f_x(x,y)=3y-2xy-y^2$

$f_y(x,y)=3x-x^2-2xy$

$f_{xx}(x,y)=-2y$

$f_{yy}(x,y)=-2x$

$f_{xy}(x,y)=3-2x-2y=f_{yx}(x,y)$

Schritt 2: Definitionsbereich

$D=(x,y)|x\ge 0,y\ge 0,y\le 3-x$

Der Definitionsbereich liegt durch $x\ge 0,y\ge 0$ im ersten Quadranten und ist durch $y=3-x$ beschränkt. Also handelt es sich um ein gleichschenkeliges, rechtwinkeliges Dreieck, Schenkellänge 3 mit dem rechten Winkel im Ursprung und den Schenkeln an den Achsen entlang.

Schritt 3: Funktionswerte am Rand

Alle Funktionswerte am Rand sind immer null. Für $(x,y)=(1,1)$ ist der Funktionswert $1$ also liegt das Maximum schon mal definitiv nicht am Rand.

X-Rand

$f(x,0)=x\cdot 0(3-x-0)=0$

Y-Rand

$f(0,y)=0\cdot y(3-0-y)=0$

Dritter Rand

$f(x,3-x)=x\cdot (3-x)\cdot (3-x-(3-x))$

$3-x-(3-x)=3-x-3+x=0$

$f(x,3-x)=x\cdot (3-x)\cdot 0=0$

Schritt 4: Stationäre Punkte finden

Erste Ableitungen nullsetzen

$\begin{array}{cc}𝐈& f_x=3y-2xy-y^2=0\\ 𝐈𝐛& y(3-2x-y)=0⟹y=0\\ 𝐈𝐈& f_y=3x-x^2-2xy=0\\ 𝐈𝐈𝐛& x(3-x-2y)=0⟹x=0& (x,y)=(0,0)\\ 𝐈𝐈𝐛|y=0,x≠0& x(3-x)=0⟹x=3& (x,y)=(3,0)\\ 𝐈𝐛|x=0,y≠0& y(3-y)=0⟹y=3& (x,y)=(0,3)\\ 𝐈𝐛-2𝐈𝐈𝐛& 3-2x-y-6+2x+4y=-3+3y=0⟹y=1& (x,y)=(1,1)\end{array}$

Zweite Ableitungen müssen kleiner Null sein

$f_{xx}=-2y$

$f_{yy}=-2x$

Also dürfen $x$ und $y$ nicht null werden. Damit fallen $(0,0)$, $(3,0)$ und $(0,3)$ schon mal raus.

Und dann noch die dritte Formel

Also muss der Punkt $(1,1)$ der gesuchte sein. Nur zur Prüfung noch die dritte Bedingung:

$f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^2>0$

$f_{xx}=-2y=-2$

$f_{yy}=-2x=-2$

$f_{xy}=3-2x-2y=3-2-2=-1$

$f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^2=(-2)\cdot (-2)-(-1{)}^2=3>0$