TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 53

Gesucht ist das absolute Maximum der Funktion $f(x,y)=xy(3-x-y)$ auf dem Definitionsbereich $D=\{(x,y)\,|\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,y\leq 3-x\}$.

(Anleitung: Man skizziere den Definitionsbereich D in der (x,y)-Ebene, bestimme dessen Rand und ermittle alle Funktionswerte auf dem Rand. Das absolute Maximum ist dann unter den relativen Maxima im Inneren von D sowie unter den Funktionswerten am Rand von D zu suchen.)

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Hilfreiches

Kurvendiskussion

Kurvendiskussion

Nullstellen:

$f(x)=0\!$

Extremwerte:

$f'(x)=0\!$

• Maximum, falls $f''(x)<0\!$
• Minimum, falls $f''(x)>0\!$
• Sattelpunkt, falls $f''(x)=0\!$

Wendepunkte:

$f''(x)=0\!$ und $f'''(x)\neq 0\!$

Konvexität:

• Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen), falls $f''(x)>0\!$
• Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen), falls $f''(x)<0\!$

In der Wikipedia findet sich dazu ein langer Artikel.

Für Funktionen in zwei Parametern gehen die Bedingungen aus hilfreichen PDF von Dr. Thomas Zehrt der Universität Basel auf Seite 6 hervor.

Für eine Maximalstelle muss demnach gelten: $f_{x}=f_{y}=0$ wobei $f_{xx}<0;\,f_{yy}<0$ und zusätzlich $f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^{2}>0$

Für eine Minimalstelle muss demnach gelten: $f_{x}=f_{y}=0$ wobei $f_{xx}>0;\,f_{yy}>0$ und zusätzlich $f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^{2}>0$

Für einen Sattelpunkt muss demnach gelten: $f_{x}=f_{y}=0$ wobei $f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^{2}<0$

Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 12:32, 29. Sep. 2021 (CEST)

Schritt 1: Ableiten

$f(x,y)=xy(3-x-y)=3xy-x^{2}y-xy^{2}$

$f_{x}(x,y)=3y-2xy-y^{2}$

$f_{y}(x,y)=3x-x^{2}-2xy$

$f_{xx}(x,y)=-2y$

$f_{yy}(x,y)=-2x$

$f_{xy}(x,y)=3-2x-2y=f_{yx}(x,y)$

Schritt 2: Definitionsbereich

$D={(x,y)\,|\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,y\leq 3-x}$

Der Definitionsbereich liegt durch $x\geq 0,\,y\geq 0$ im ersten Quadranten und ist durch $y=3-x$ beschränkt. Also handelt es sich um ein gleichschenkeliges, rechtwinkeliges Dreieck, Schenkellänge 3 mit dem rechten Winkel im Ursprung und den Schenkeln an den Achsen entlang.

Schritt 3: Funktionswerte am Rand

Alle Funktionswerte am Rand sind immer null. Für $(x,y)=(1,1)$ ist der Funktionswert $1$ also liegt das Maximum schon mal definitiv nicht am Rand.

X-Rand

$f(x,0)=x\cdot 0(3-x-0)=0$

Y-Rand

$f(0,y)=0\cdot y(3-0-y)=0$

Dritter Rand

$f(x,3-x)=x\cdot (3-x)\cdot (3-x-(3-x))$

$3-x-(3-x)=3-x-3+x=0$

$f(x,3-x)=x\cdot (3-x)\cdot 0=0$

Schritt 4: Stationäre Punkte finden

Erste Ableitungen nullsetzen

${\begin{matrix}\mathbf {I} &f_{x}=3y-2xy-y^{2}=0\\\mathbf {Ib} &y(3-2x-y)=0\Longrightarrow y=0\\\mathbf {II} &f_{y}=3x-x^{2}-2xy=0\\\mathbf {IIb} &x(3-x-2y)=0\Longrightarrow x=0&(x,y)=(0,0)\\\mathbf {IIb} |y=0,x\not =0&x(3-x)=0\Longrightarrow x=3&(x,y)=(3,0)\\\mathbf {Ib} |x=0,y\not =0&y(3-y)=0\Longrightarrow y=3&(x,y)=(0,3)\\\mathbf {Ib} -2\mathbf {IIb} &3-2x-y-6+2x+4y=-3+3y=0\Longrightarrow y=1&(x,y)=(1,1)\\\end{matrix}}$

Zweite Ableitungen müssen kleiner Null sein

$f_{xx}=-2y$

$f_{yy}=-2x$

Also dürfen $x$ und $y$ nicht null werden. Damit fallen $(0,0)$, $(3,0)$ und $(0,3)$ schon mal raus.

Und dann noch die dritte Formel

Also muss der Punkt $(1,1)$ der gesuchte sein. Nur zur Prüfung noch die dritte Bedingung:

$f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^{2}>0$

$f_{xx}=-2y=-2$

$f_{yy}=-2x=-2$

$f_{xy}=3-2x-2y=3-2-2=-1$

$f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^{2}=(-2)\cdot (-2)-(-1)^{2}=3>0$