TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 39

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im Inneren des angegebenen Bereichs und alle absoluten Extrema im gesamten, angegebenen Bereich. Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante negativ ist.

$f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2}){\text{ für }}x,y\in \mathbb {R}$

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}}

Hilfreiches

Kurvendiskussion

Kurvendiskussion

Nullstellen:

$f(x)=0\!$

Extremwerte:

$f'(x)=0\!$

• Maximum, falls $f''(x)<0\!$
• Minimum, falls $f''(x)>0\!$
• Sattelpunkt, falls $f''(x)=0\!$

Wendepunkte:

$f''(x)=0\!$ und $f'''(x)\neq 0\!$

Konvexität:

• Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen), falls $f''(x)>0\!$
• Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen), falls $f''(x)<0\!$

In der Wikipedia findet sich dazu ein langer Artikel.

Für Funktionen in zwei Parametern gehen die Bedingungen aus hilfreichen PDF von Dr. Thomas Zehrt der Universität Basel auf Seite 6 hervor.

Für eine Maximalstelle muss demnach gelten: $f_{x}=f_{y}=0$ wobei $f_{xx}<0;\,f_{yy}<0$ und zusätzlich $f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^{2}>0$

Für eine Minimalstelle muss demnach gelten: $f_{x}=f_{y}=0$ wobei $f_{xx}>0;\,f_{yy}>0$ und zusätzlich $f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^{2}>0$

Für einen Sattelpunkt muss demnach gelten: $f_{x}=f_{y}=0$ wobei $f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^{2}<0$

Lösungsvorschlag von Usernamee

--Usernamee 19:34, 24. Sep. 2021 (CEST)

Graphische Darstellung der Funktion

Bild der Höhenlinien

Schritt eins: Ableiten in allen Formen und Farben

$f_{x}(x,y)=2(x^{2}+y^{2})\cdot 2x-4x$

$f_{xx}(x,y)=2(2x\cdot 2x+(x^{2}+y^{2})\cdot 2)-4=8x^{2}+4(x^{2}+y^{2})-4$ (Produktregel beachten)

$f_{y}(x,y)=2(x^{2}+y^{2})\cdot 2y+4y$

$f_{yy}(x,y)=2(2y\cdot 2y+(x^{2}+y^{2})\cdot 2)+4=8y^{2}+2(x^{2}+y^{2})+4$ (Produktregel beachten)

$f_{xy}(x,y)=8xy=f_{yx}(x,y)$

Schritt zwei: Nullsetzen der Ableitung nach X

$f_{x}(x,y)=0\Rightarrow x=0{\text{ oder }}2(x^{2}+y^{2})\cdot 2x=4x$

$2(x^{2}+y^{2})\cdot 2x=4x$

$2(x^{2}+y^{2})=2$

$x^{2}+y^{2}=1$

Also ist die Ableitung nach X im Ursprung und am Einheitskreis null.

Schritt drei: Nullsetzen der Ableitung nach Y

$f_{y}(x,y)=0\Rightarrow y=0{\text{ oder }}2(x^{2}+y^{2})\cdot 2y=-4y$

$2(x^{2}+y^{2})\cdot 2y=-4y$

$2(x^{2}+y^{2})=-2$

$x^{2}+y^{2}=-1$

Scheint nicht so ganz jemals möglich zu sein.

Also ist die Ableitung nach Y bei $y=0$ null.

Schritt vier: Interessante Punkte analysieren

Der Ursprung

Bei $(x,y)=(0,0)$ gibt es also einen interessanten Punkt.

$f_{xx}(0,0)=-4$

$f_{yy}(0,0)=4$

$f_{xy}(0,0)=0$

$f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^{2}=-4\cdot 4-0^{2}=-16<0$

Es scheint ein Sattelpunkt zu sein. Sieht man sich nun die graphische Darstellung an, mag das auf den ersten Blick nicht auffallen. Das Bild der Höhenlinien hingegen zeigt sehr schön, dass es sich im Nullpunkt nicht um einen Tiefpunkt handelt.

Wenn y = 0 und der Einheitskreis sich schneiden

Weitere Interessante Punkte gibt es nur am Schnitt von $y=0$ und dem aus $x^{2}+y^{2}=1$ ergehenden Einheitskreis. Also bei $(x,y)=(-1,0)$ und $(x,y)=(1,0)$.

$f_{xx}(-1,0)=8+4(1+0)-4=8$

$f_{yy}(-1,0)=0+2(1+0)+4=6$

$f_{xy}(-1,0)=0$

$f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^{2}=8\cdot 6-0^{2}=48>0$

Damit sind alle Bedingungen für eine Minimalstelle erfüllt.

$f_{xx}(1,0)=8\cdot 1+4(1+0)-4=8$

$f_{yy}(1,0)=0+2(1+0)+4=6$

$f_{xy}(1,0)=0$

$f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^{2}=8\cdot 6-0^{2}=48>0$

Damit sind alle Bedingungen für eine Minimalstelle erfüllt.

Zusammenfassung

Zusammenfassend kann man also sagen: Es gibt einen Sattelpunkt bei (0, 0) und Minima bei (-1, 0) und (1, 0).