TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 198

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

1. (a) $\underset{x\to 1-}{lim}\ln (1-x)\cdot \ln (x)(x)$
2. (b) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^4}{e^{4x}}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_0$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_0)=g(x_0)=0$ und
• existiert $\underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\right)$,

so gilt: $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \mathrm{\infty }$, oder auch falls $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$.

Lösungsvorschlag

Beispiel a

Identisch wie a) von 188 weil $\underset{x\to 1-}{lim}(x)=1$.

Beispiel b

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^4}{e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4\cdot 3x^3}{4\cdot e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3\cdot 4\cdot 3x^2}{4\cdot 4\cdot e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot 3x}{4\cdot 4\cdot 4\cdot e^{4x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 3}{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot e^{4x}}=0$

Auch Beispiel aus Übungen SS06 Beispiel 4.1 b) Datei:Mathe2-118152 bsp ma1 425.pdf