TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS14/Beispiel 8

Man zeige, dass die Folge $a_n=\frac{\sin (n)+\cos (n)}{\sqrt{n}}(n\ge 1)$ nur 0 als Häufungspunkt hat.

Lösungsvorschlag

Ähnlich zu Beispiel 6 und 7

n :	1	2	3	4	5	6	7	8	9	...
$\sqrt{n}:$	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$	2	$\sqrt{5}$	$\sqrt{6}$	$\sqrt{7}$	$\sqrt{8}$	3	...
cos-Teil :	0,54	-0,41	-0,99	-0,65	0,28	0,96	0,75	-0,14	-0,91	...
sin-Teil :	0,84	0,9	0,14	-0,75	-0,95	-0,27	0,65	0,98	0,41	...

Das heißt: $-2\le \sin (n)+\cos (n)\le 2$

desweiteren gilt:

$\frac{-2}{\sqrt{n}}:-2;-1,41;-1,15;-1;-0,89;-0,81;-0,75;-0,70;-0,\mathrm{66...}\to 0$

$\frac{2}{\sqrt{n}}:2;1,41;1,15;1;-0,89;0,81;0,75;0,70;0,\mathrm{66...}\to 0$

daher ist auch

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin (n)+\cos (n)}{\sqrt{n}}=0$

Links

Beispiel 6: TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS14/Beispiel_6

Beispiel 7: TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS14/Beispiel_7