TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS14/Beispiel 8

Man zeige, dass die Folge $a_{n}={\frac {\sin(n)+\cos(n)}{\sqrt {n}}}(n\geq 1)$ nur 0 als Häufungspunkt hat.

Lösungsvorschlag

Ähnlich zu Beispiel 6 und 7

n :	1	2	3	4	5	6	7	8	9	...
${\sqrt {n}}:$	1	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {3}}$	2	${\sqrt {5}}$	${\sqrt {6}}$	${\sqrt {7}}$	${\sqrt {8}}$	3	...
cos-Teil :	0,54	-0,41	-0,99	-0,65	0,28	0,96	0,75	-0,14	-0,91	...
sin-Teil :	0,84	0,9	0,14	-0,75	-0,95	-0,27	0,65	0,98	0,41	...

Das heißt: $-2\leq \sin(n)+\cos(n)\leq 2$

desweiteren gilt:

${\frac {-2}{\sqrt {n}}}:-2;-1,41;-1,15;-1;-0,89;-0,81;-0,75;-0,70;-0,66...\rightarrow 0$

${\frac {2}{\sqrt {n}}}:2;1,41;1,15;1;-0,89;0,81;0,75;0,70;0,66...\rightarrow 0$

daher ist auch

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sin(n)+\cos(n)}{\sqrt {n}}}=0$

Links

Beispiel 6: TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS14/Beispiel_6

Beispiel 7: TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS14/Beispiel_7