TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 198

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

1. (a) $\lim _{x\to 1-}\ln(1-x)\cdot \ln(x)(x)$
2. (b) $\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{4}}{e^{4x}}}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_{0}$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ und
• existiert $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right)$,

so gilt: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \infty$, oder auch falls $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty$.

Lösungsvorschlag

Beispiel a

Identisch wie a) von 188 weil $\lim _{x\to 1-}(x)=1$.

Beispiel b

$\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{4}}{e^{4x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {4\cdot 3x^{3}}{4\cdot e^{4x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3\cdot 4\cdot 3x^{2}}{4\cdot 4\cdot e^{4x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cdot 3\cdot 4\cdot 3x}{4\cdot 4\cdot 4\cdot e^{4x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 3}{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot e^{4x}}}=0$

Auch Beispiel aus Übungen SS06 Beispiel 4.1 b) Datei:Mathe2-118152 bsp ma1 425.pdf