TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 10

Sei $a_{n}={\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}$ für $n\geq 1$. Man zeige, dass die Folge $a_{n}$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\varepsilon >0$ ein $N(\varepsilon )$ angebe.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Siehe auch TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS17/Beispiel 10

Hilfreiches

Sandwich-Theorem

Seien $(a_{n})_{n\geq 0}$ und $(b_{n})_{n\geq 0}$ konvergente Folgen mit $\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=a$. Sei $(c_{n})_{n\geq 0}$ eine Folge mit $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$.

Dann folgt die Konvergenz von $c_{n}$ und es gilt $\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{n}=a$. (Satz 4.22)

Lösung 1

Wir untersuchen einmal $b_{n}=\sin(n)$ und $c_{n}={\sqrt[{4}]{n}}$. Dabei sehen wir, dass die Ergebnisse für $-1\leq b_{n}\leq 1$ sind, und $\lim _{n\to \infty }c_{n}=\infty$. Wir vermuten also, dass $\lim _{n\to \infty }{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}=0$, da der Zähler des Bruches immer zwischen -1 und +1 ist, und der Nenner schön langsam gegen unendlich konvergiert.

$0\leq \left|{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}\right|\leq {\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}$

Jetzt ist sowohl $\lim _{n\to \infty }0=0$ als auch $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}=0$.

Jetzt gilt dank dem Sandwich-Theorem, dass auch

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}=0$

Jetzt wissen, dass wir es mit einer Nullfolge zu tun haben. Wir können analog zu 522 folgenden Ansatz wählen, um ein $N(\varepsilon )$ zu finden:

${\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}\leq \varepsilon$

${\frac {1}{n}}\leq \varepsilon ^{4}$

${\frac {1}{\varepsilon ^{4}}}\leq n=N(\varepsilon )$

Lösung 2

Eine Folge $a_{n}$ konvergiert gegen den Grenzwert $a$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ einen Index $n_{0}$ gibt, ab dem alle Elemente im Intervall $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ liegen. Die Funktion $N(\varepsilon )$ berechnet zu jedem $\varepsilon$ einen passenden Index $n_{0}$.

$\varepsilon$ darf weder ausgesucht noch berechnet werden.

Das heißt, folgende Ungleichung muss erfüllt werden:

$\left|{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}-a\right|<\varepsilon$

Wir wissen außerdem, dass $-1<\sin(n)<1$ und dass ${\sqrt[{4}]{n}}\to +\infty$ und daher $\left|{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}\right|\to 0=a$.

Um die Ungleichung zu vereinfachen, schätzen wir nach unten hin ab:

$\left|{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}\right|\leq {\frac {1}{|{\sqrt[{4}]{n}}|}}<\varepsilon$

Wir kommen wenn wir dieses Wissen jetzt einsetzen auf folgendes:

${\frac {1}{|{\sqrt[{4}]{n}}|}}<\varepsilon$

Jetzt mache ich 3 Arbeitsschritte auf einmal:

1. mit ${\sqrt[{4}]{n}}$ multiplizieren
2. mit $\varepsilon$ dividieren
3. mit $4$ potentieren

Das ergibt nun:

${\frac {1^{4}}{\varepsilon ^{4}}}<n$

Lösung:

$N(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon ^{4}}}$

Quellen

• Lösung 1:
  • Datei:TU Wien-Analysis UE (diverse) - 2. Übung SS2012 Analysis Bsp. 10.pdf
• Lösung 2:
  • Beispiel 9 (SS14): TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS08/Beispiel_442#L.C3.B6sung_2
• Erklärung vom Informatik Forum: https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?78267-Folgen-Epsilon-Umgebung