TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 199

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

(a) $\lim _{x\to {\frac {1}{2}}}(1-2x)tan(\pi x)$
(b) $\lim _{x\to 1}{\frac {sin(1-x^{2})}{(x-1)(cos(x-1)-1)}}$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_{0}$

differenzierbar und
gilt $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ und
existiert $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right)$ ,

so gilt: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ . Eine analoge Aussage gilt für $x\to \infty$ , oder auch falls $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty$ .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

a)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 $\lim _{x\to {\frac {1}{2}}}(1-2x)tan(\pi x)$

Um die Regel von l'Hospital anwenden zu können, muss man den Ausdruck so umformen, dass ein Bruch entsteht, z.B. $tan(x)=1/cot(x)$ oder $tan(x)=sin(x)/cos(x)$ . Letzteres hat den Nachteil, dass das Differenzieren komplizierter (Produktregel!) wird.

Wir erhalten nach der Umformung des tan daher folgendes:

$\lim _{x\to {\frac {1}{2}}}{\frac {(1-2x)}{cot(\pi \cdot x)}}=\lim _{x\to {\frac {1}{2}}}{\frac {-2}{-{\frac {\pi }{sin^{2}(\pi \cdot x)}}}}={\frac {2}{\pi }}$

Da ja $sin^{2}({\frac {\pi }{2}})=1$

Anmerkung: $sin(\pi /2)$ (90 Grad) ist 1, cot = $cos/sin$ , abgeleitet $(-1)/cos^{2}$

Wenn man das Beispiel über den Tangens löst sieht es folgendermaßen aus:

$\lim _{x\to {\frac {1}{2}}}{\frac {(1-2x)\cdot (sin(\pi \cdot x))}{cos(\pi \cdot x)}}=\lim _{x\to {\frac {1}{2}}}{\frac {(-2)\cdot (sin(\pi \cdot x))+(1-2x)\cdot cos(\pi \cdot x)\cdot \pi }{-sin(\pi \cdot x)\cdot \pi }}={\frac {2}{\pi }}$

b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 $\lim _{x\to 1}{\frac {sin(1-x^{2})}{(x-1)(cos(x-1)-1)}}$

Wir können hier, da ein Bruch vorliegt, wieder die Regel von l'Hospital anwenden.

Zähler nach der Kettenregel differenziert gibt
$(sin(1-x^{2}))'=-2x\cdot cos(1-x^{2})\,$
Nenner nach der Produktregel differenziert gibt
$((x-1)(cos(x-1)-1))'=1\cdot (cos(x-1)-1)+(x-1)\cdot sin(1-x)\,$

Mit $x=1$ eingesetzt ist das Ergebnis daher ${\frac {-2}{0}}={\tilde {\infty }}$ (uneigentlicher Grenzwert!)

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechenfehler ausgebessert --W1n5t0n 15:09, 30. Jan. 2010 (CET)
Vorzeichenfehler in b) --Thomarsch 19:19, 15. Mär. 2010 (CET)
${\frac {-2}{0}}$ ist per se nicht $-\infty$ , weiters zeigt uns ein Blick auf die Funktion selbst, dass der Grenzwert im positiven Bereich liegt. (Limes Berechnung durch WolframAlpha)
pi vergessen ausgebessert, Lösungsvorschlag a letzte Zeile