TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 199

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

1. (a) $\underset{x\to \frac{1}{2}}{lim}(1-2x)tan(\pi x)$
2. (b) $\underset{x\to 1}{lim}\frac{sin(1-x^2)}{(x-1)(cos(x-1)-1)}$

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Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_0$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_0)=g(x_0)=0$ und
• existiert $\underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\right)$,

so gilt: $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \mathrm{\infty }$, oder auch falls $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$.

Lösungsvorschlag

a)

$\underset{x\to \frac{1}{2}}{lim}(1-2x)tan(\pi x)$

Um die Regel von l'Hospital anwenden zu können, muss man den Ausdruck so umformen, dass ein Bruch entsteht, z.B. $tan(x)=1/cot(x)$ oder $tan(x)=sin(x)/cos(x)$. Letzteres hat den Nachteil, dass das Differenzieren komplizierter (Produktregel!) wird.

Wir erhalten nach der Umformung des tan daher folgendes:

$\underset{x\to \frac{1}{2}}{lim}\frac{(1-2x)}{cot(\pi \cdot x)}=\underset{x\to \frac{1}{2}}{lim}\frac{-2}{-\frac{\pi }{si{n}^2(\pi \cdot x)}}=\frac{2}{\pi }$

Da ja $si{n}^2(\frac{\pi }{2})=1$

Anmerkung: $sin(\pi /2)$ (90 Grad) ist 1, cot = $cos/sin$, abgeleitet $(-1)/co{s}^2$

Wenn man das Beispiel über den Tangens löst sieht es folgendermaßen aus:

$\underset{x\to \frac{1}{2}}{lim}\frac{(1-2x)\cdot (sin(\pi \cdot x))}{cos(\pi \cdot x)}=\underset{x\to \frac{1}{2}}{lim}\frac{(-2)\cdot (sin(\pi \cdot x))+(1-2x)\cdot cos(\pi \cdot x)\cdot \pi }{-sin(\pi \cdot x)\cdot \pi }=\frac{2}{\pi }$

b)

$\underset{x\to 1}{lim}\frac{sin(1-x^2)}{(x-1)(cos(x-1)-1)}$

Wir können hier, da ein Bruch vorliegt, wieder die Regel von l'Hospital anwenden.

• Zähler nach der Kettenregel differenziert gibt
  $(sin(1-x^2){)}^{\prime }=-2x\cdot cos(1-x^2)$
• Nenner nach der Produktregel differenziert gibt
  $((x-1)(cos(x-1)-1){)}^{\prime }=1\cdot (cos(x-1)-1)+(x-1)\cdot sin(1-x)$

Mit $x=1$ eingesetzt ist das Ergebnis daher $\frac{-2}{0}=\tilde{\mathrm{\infty }}$ (uneigentlicher Grenzwert!)

Anmerkungen

• Rechenfehler ausgebessert --W1n5t0n 15:09, 30. Jan. 2010 (CET)
• Vorzeichenfehler in b) --Thomarsch 19:19, 15. Mär. 2010 (CET)
  $\frac{-2}{0}$ ist per se nicht $-\mathrm{\infty }$, weiters zeigt uns ein Blick auf die Funktion selbst, dass der Grenzwert im positiven Bereich liegt. (Limes Berechnung durch WolframAlpha)
• pi vergessen ausgebessert, Lösungsvorschlag a letzte Zeile

Lösungsvorschlag von mnemetz für 2a (= 1c alt)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 11:32, 17. Mär 2006 (CET)

Teillösung im Konversatorium

Siehe <TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/L'Hospital> (bitte Konversatorium und TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 1 nach der Übung ergänzen!)

Links

• Diskussion im Informatik-Forum