TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Angaben

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Beispiel 1

Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle natürlichen Zahlen hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.)

Beispiel 2

Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle ganzen Zahlen hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.)

Beispiel 3

Gibt es eine Folge reeller Zahlen, die als Häufungspunkte genau alle rationalen Zahlen hat?

Beispiel 4

Man finde alle Häufungspunkte der Folge {\textstyle a_n = (-1)^n + \cos \frac{n\pi}{2}\ (n \ge 0)}.

Beispiel 5

Man finde alle Häufungspunkte der Folge {\textstyle a_n = \sin \frac{n\pi}{2}+(-1)^{n(n+1)/2}\ (n \ge 0)}.

Beispiel 6

Man finde alle Häufungspunkte der Folge

a_{n} = \frac{\sqrt{n}\cdot \cos(\frac{n\pi}{2})}{\sqrt{n}+\sin(\frac{n\pi}{2})}, \quad (n \ge 1).

Beispiel 7

Man zeige, dass die Folge  a_n = \frac{\sin n}{n}

(n ≥ 1) nur 0 als Häufungspunkt hat.

Beispiel 8

Man zeige, dass die Folge a_n =
\frac{\sin n + \cos n}{\sqrt n}

(n ≥ 1) nur 0 als Häufungspunkt hat

Beispiel 9

Man zeige, dass die Folge a_n konvergiert, indem man zu beliebigem \epsilon > 0 ein N(\epsilon) angebe.

a_n=\frac{\sin(n) + \cos(n)}{\sqrt{n}}, \quad n \ge 1

Beispiel 10

Sei a_n = \frac{\sin (n)}{\sqrt[4]{n}} für n \ge 1. Man zeige, daß die Folge an konvergiert, indem man zu beliebigem \varepsilon > 0 ein N(\varepsilon) angebe.

Siehe auch TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS17/Beispiel 10

Beispiel 11

Man zeige, dass die Folge  a_{n} konvergiert, indem man zu beliebigem  \epsilon > 0 ein  N(\epsilon) angebe.

 a_{n} = \frac{\ln(n)}{n},\quad n\ge 1

Anleitung: Zeigen Sie, dass aus  \ln(x) < \frac{x}{2} die Ungleichung  \ln(n) < \sqrt{n} folgt. Die erste Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.

Beispiel 12

Man zeige, dass die Folge a_{n} = \frac{n}{4^n} konvergiert, indem man zu beliebigem \varepsilon > 0 ein N(\varepsilon) angebe.

Anleitung: Zeigen Sie zunächst n < 2^n.

Beispiel 13

Sei (c_n)_{n\in\mathbb{N}} eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei beschränkte Folgen (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}} gibt, die c_n = \frac{a_n}{b_n} für alle n\in\mathbb{N} erfüllen.

Beispiel 14

Sei (c_n)_{n \in \N} eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei Nullfolgen (a_n)_{n \in \N}, (b_n)_{n \in \N} gibt, die c_n=\frac{a_n}{b_n} für alle n \in \N erfüllen.

Beispiel 15

Seien  (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} und  (b_{n})_{n \in \mathbb{N}} zwei konvergente Folgen mit  \lim a_{n} = a und  \lim b_{n} = b . Man zeige, dass die Folge  (c_{n})_{n \in \mathbb{N}} = (a_{n}+2*b_{n})_{n \in \mathbb{N}} auch konvertiert mit  \lim c_{n} = c = a + 2*b indem man zu beliebigen  \epsilon > 0 ein  N(\epsilon) angebe.

Beispiel 16

Seien  (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} und  (b_{n})_{n \in \mathbb{N}} zwei konvergente Folgen mit  \lim_{n \rarr \infty} a_{n} = a und  \lim_{n \rarr \infty} b_{n} = b. Man zeige, dass die Folge  (c_{n})_{n \in \mathbb{N}} = (3a_n - b_n)_{n \in \mathbb{N}} auch konvertiert mit  \lim_{n \rarr \infty} c_{n} = c = 3a - b indem man zu beliebigen  \epsilon > 0 ein  N(\epsilon) angebe.

Beispiel 17

Seien (a_n)_{n \in \N} und (b_n)_{n \in \N} zwei konvergente Folgen mit \lim_{n \to \infty} a_n = a und \lim_{n \to \infty} b_n = b mit b \neq 0. Man zeige, dass dann gilt \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}. Wieso spielt hierbei die zusätzliche Bedingung b_n \neq 0 für alle n \in \N, die eigentlich für die Existenz der Folge (\frac{a_n}{b_n})_{n \in \N} notwendig ist, keine große Rolle?

Entspricht Satz 4.14 (iv) aus Mathematik für Informatik.

Beispiel 18

Sei (a_n)_{n \in \N} eine Folge mit \lim_{n \to \infty} a_n = a. Zeigen Sie, dass \lim_{n \to \infty} | a_n | = | a |.

Beispiel 19

Sei (a_n)_{n\in\mathbb{N}} und (b_n)_{n\in\mathbb{N}} konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass aus a_n < b_n für alle n\in\mathbb{N} immer \lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n folgt. Lässt sich hier \leq durch < ersetzen?

Beispiel 20

Für alle  n\in \mathbb{N} mit  n\geq 1 sei  a_n=1+\frac{1}{n^2}+\cos\left(\frac{\pi n}{2}\right)\left(3-\frac{5}{n}\right) .

  1. Gelten für die Umgebung  U=U_1(3)=(2,4) von 3 die folgenden beiden Aussagen?
    (a)  a_n\in U für unendlich viele  n .
    (b) Es gibt ein  N=N(\varepsilon) =N(1) mit  a_n\in U für alle n\geq N.
  2. Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge  \left(a_n\right)_{n\geq1} an.
  3. Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen  n_1 < n_2 < \dots an, so dass  \left(a_{n_k}\right)k_{\in\mathbb{N}} eine monotone Teilfolge von  \left(a_n\right)_{n\geq1} ist.
  4. Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von  \left(a_n\right)_{n\geq1}?

Beispiel 21

Man untersuche die Folge a_n (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert \lim_{n\to\infty}a_n. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle n \geq 0.

a_0=3, a_{n+1}=\sqrt{2a_n -1} für alle n\geq0

Beispiel 22

Man untersuche die Folge a_n (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert \lim_{n\to\infty}a_n. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle n \geq 0.

a_0=4,a_{n+1}=\sqrt{6a_n-9} \qquad \forall n\geq0

Beispiel 23

Man untersuche die Folge a_n (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert \lim_{n\to\infty}a_n. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle n \geq 0.

a_0=2,a_{n+1}=\sqrt{4a_n-3} \qquad \forall n\geq0

Beispiel 24

Man untersuche die Folge a_n (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert \lim_{n\to\infty}a_n. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle n \geq 0.

a_0=2,a_{n+1}=\sqrt{4 \cdot \sqrt {a_n} - 3} \qquad \forall n\geq0

Hinweis: x^4 + 6x^2 -16x + 9 = (x - 1)^2 (x^2+2x+9).

Beispiel 25

Man untersuche die Folge  a_n (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert  \lim_{n\to\infty}a_n . Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle  n \geq 0 . a_0=2,a_{n+1}=\sqrt{2 \cdot \sqrt {a_n} - 3} \qquad \forall n\geq0

Hinweis: x^4 - 2x + 1 = (x - 1)(x^3+x^2+x-1).

Beispiel 26

Man untersuche die Folge  a_n (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert  \lim_{n\to\infty}a_n . Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle  n \geq 0 . a_0=2,a_{n+1}=\sqrt[3]{2a_n-1} \qquad \forall n\geq0

Beispiel 27

Man untersuche die Folge  a_n (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert  \lim_{n\to\infty}a_n . Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle  n \geq 0 .

a_0=1/2,a_{n+1}=\sqrt[3]{2a_n-1} \qquad \forall n\geq0

Beispiel 28

Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und mögliche Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der reellen Zahlengeraden:

(a) a_n=0,1,\frac{1}{2},3,\frac{1}{4},5,\frac{1}{6},...,2n+1,\frac{1}{2n+2}

(b) b_n=\frac{n+4}{n-1} für n\geq 2

(c) c_n=(-1)^n*\frac{n+1}{n} für n\geq 1

Beispiel 29

Sei 0 < a_0 < c und (a_n)n\in \mathbb N eine Folge positiver reeller Zahlen mit a_{n+1} = \sqrt{a_n c}

(a) Zeigen Sie, dass aus 0 < a < c stets a < \sqrt{ac} < c folgt.

(b) Folgern Sie aus (a) mittels Induktion nach n, dass 0 < a_n < c für alle n \in \mathbb N.

(c) Zeigen die a_n irgendein Monotonieverhalten? Wenn ja, welches?

(d) Untersuchen Sie die a_n hinsichtlich Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Beispiel 30

Sehr ähnliches Beispiel:

TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_SS10/Beispiel_59

Beispiel 31

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

a_n=\frac{2n^3+2n-3}{4n^3+n^2+5}

Beispiel 32

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

a_n = \frac{4n^2+5n-3}{2n^3+3n^2-n+7}

Beispiel 33

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

a_n=\frac{3n^2-5n+7}{3n^3-5n+7}

Beispiel 34

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

 a_n = \frac{2n^3 - 5n^2 + 7}{2n^3 - 5n + 7}

Beispiel 35

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

a_n=\frac{2n^2-5n^{\frac{9}{4}}+7}{7n^3+2n^{-\frac{3}{2}}+1}

Beispiel 36

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

a_n = \frac{3n^2 - 4n^{11/3}+n^{-1}}{2n^4 + 2n^{-3/2}+1}

Beispiel 37

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

a_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}

Beispiel 38

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in \N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \N definiert.)

a_n=\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}

Beispiel 39

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in\N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \mathbb N definiert.)

 a_n = \frac{n!}{n^n}

Beispiel 40

Man untersuche die Folge \left\langle a_{n}\right\rangle _{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

a_{n}=\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt[3]{\frac{1}{n}}}

Beispiel 41

Man untersuche die Folge (a_n)_{n \in \N} auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert.

a_n = \frac{\frac{\sin n}{(n-2)^2} + \frac{n^2+2}{n^2-n}}{\frac{3n^2+2}{n^2+n}}

Beispiel 42

Man untersuche die Folge (a_n)_{n \in \N} auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert.

a_n = \frac{\frac{n^2 - 4}{4n^2 - 7n} - \frac{\cos n}{2n - 5}}{\frac{3n^2+2}{(n-3)^2}}

Beispiel 43

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in\N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \mathbb N definiert.)

a_n=n q^n \quad (-1 < q < 0)

Beispiel 44

Man untersuche die Folge (a_n)_{n\in\N} auf Wohldefiniertheit und Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert. (Die a_n sind für fast alle n \in \mathbb N definiert.)

a_n = \frac {q^n} n \quad (q > 1)

Beispiel 45

Man untersuche die Folge \left\langle a_{n}\right\rangle _{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

a_{n}=\sqrt[n^2]{n^5+1}

Hinweis: Man verwende den als bekannt vorausgesetzten Grenzwert \lim_{n \to \infty}\sqrt[n] n=1.

Beispiel 46

Man untersuche die Folge \left\langle a_{n}\right\rangle _{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

a_{n}=\sqrt[n^2]{n^3+n^2}

Hinweis: Man verwende den als bekannt vorausgesetzten Grenzwert \lim_{n \to \infty}\sqrt[n] n=1.

Beispiel 47

Man untersuche die Folge \langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen \langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}, \langle c_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} mit b_n\leq a_n\leq c_n finde:

a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\dots +\frac{1}{n^2+n}

Beispiel 48

Man untersuche die Folge \langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen \langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}, \langle c_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} mit b_n\leq a_n\leq c_n finde:

a_n=\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{(n+n)^2}

Beispiel 49

Man untersuche die Folge \langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen \langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}, \langle c_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} mit b_n\leq a_n\leq c_n finde:

a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+ \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}

Beispiel 50

Man untersuche die Folge \langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen \langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}},\langle c_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} mit b_n \leq a_n \leq c_n finde.

a_n=\frac{n^2+1}{n^3+1}+\frac{n^2+2}{n^3+2}+ ... + \frac{n^2+n}{n^3+n}

Beispiel 51

Zeigen Sie: Sind a_1, \dots, a_m \ge 0 fest gewählte reelle Zahlen und ist (b_n)_{n\in \mathbb N} durch b_n = \sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_m^n} definiert, so gilt \lim b_n = \max\{a_1, \dots, a_m\}.

Beispiel 52

Sei die Folge (a_n)_{n\in \mathbb N} rekursiv gegeben durch a_0 = 0 und

a_n = a_{n-1} + \frac 1 {n(n+1)} \quad (n\ge 1).

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion) a_n = 1 - \frac 1 {n + 1} und bestimme den Grenzwert.

Beispiel 53

Sei die Folge (a_n)_{n\in \mathbb N} rekursiv gegeben durch a_0=0 und

a_{n+1}=a_n+\frac{n}{(n+1)!}

(n\geq 0)

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion)

a_n=1-\frac{1}{n!}

und bestimme den Grenzwert.

Beispiel 54

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge

a_n = \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \cdots + \frac{n}{n^2}, \quad n \ge 1,

für n \rarr \infty.

Beispiel 55

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie \limsup_{n \to \infty} a_n und \liminf_{n \to \infty} a_n der Folge a_n:


a_n = (-1)^n n^{(-1)^\frac{n(n+1)}{2} + 1} + \cos n\pi/2

Beispiel 56

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie \limsup_{n \to \infty} a_n und \liminf_{n \to \infty} a_n der Folge a_n:

a_n = \frac{n^2 \cos \frac{n \pi}{2} + 1}{n + 1} + \sin \frac{(2n + 1)\pi}{2}

Beispiel 57

Man zeige, dass die Folge an uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem A > 0 ein N(A) angebe, sodass für n > N(A) immer an > A gilt.

a_n=\frac{n^3+1}{n-1}

Beispiel 58

Man zeige, dass die Folge a_n uneigentlich konvergiert, indem man zu jedem A > 0 ein N(A) angebe, sodass für n > N(A) immer a_n > A gilt.

a_n=\frac{2n^4+n}{n^3+n}

Beispiel 59

Man gebe zwei reelle Nullfolgen (a_n)_{n \in \N},\ (b_n)_{n \in \N}\ an, die

\lim_{n \to \infty} \frac {a_n} {b_n} = 0 \qquad \text{und} \qquad \lim_{n \to \infty} \frac {a_n} {b_n^2} = +\infty

erfüllen.

Beispiel 60

Man gebe zwei reelle Folgen \langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}},\langle b_n\rangle_{n\in\mathbb{N}} mit \lim a_n = \lim b_n = + \infty an, die

\lim \frac{a_n}{b_n}=0 und \lim \frac{a_n^2}{b_n}=+ \infty

erfüllen.

Beispiel 61

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n(n+2)}

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz passender Ausdrücke dar.)

Beispiel 62

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.)

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}

Beispiel 63

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.)

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!}

Beispiel 64

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.)

\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{(n+2)!}

Beispiel 65

Man bestimme die Partialsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe.

(Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.)


\sum (-1)^n \frac{2n+1}{n(n+1)}

Beispiel 66

Man bestimme die Paritalsummenfolge und ermittle dann gegebenenfalls den Grenzwert der Reihe. (Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenz bzw. Summe passender Ausdrücke dar.)


\sum (-1)^n \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)}

Beispiel 67

Seien P_1 und P_2 beliebige Punkte der Zahlengeraden. Man halbiere fortgesetzt die Strecke \overline{P_1 P_2} in P_3, die Strecke \overline{P_2 P_3} in P_4, \overline{P_3 P_4} in P_5, usw. und bestimme die Lage von P_n für n \to \infty.

Beispiel 68

Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen Formel den Grenzwert der Reihe:

\sum_{n \geq 0}^{\infty} {\frac{\sin\frac{n\pi}{3}}{2^n}}

Beispiel 69

Man berechne unter Benützung der komplexen Zahlen und der de Moivreschen Formel den Grenzwert der Reihe:

\sum_{n \geq 0}^{\infty} {\frac{\cos\frac{n \pi}{3}}{2^n}}

Beispiel 70

Es gilt \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. Man folgere daraus

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}.

Beispiel 71

Für n = 1, 2, 3, ... sei

a_n=\frac{1}{n^2}, b_n=\frac{1}{(n+1)*(n+2)}, c_n=\frac{1}{(n+1)}, d_n=\frac{1}{(n+2)}.

Weiters sei A = \sum_{n=1}^\infty a_n, B = \sum_{n=0}^\infty b_n, C = \sum_{n=0}^\infty c_n, D = \sum_{n=0}^\infty d_n.

  1. (a) Berechnen Sie die Partialsummen von B.
  2. (b) Berechnen Sie den Wert von B.
  3. (c) Begründen Sie a_n \le 2b_n. Konvergiert A?
  4. (d) Warum ist B = C - D falsch, obwohl b_n = c_n - d_n?

Beispiel 72

Man untersuche folgende Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n \geq 0} \frac{3\cdot n^2 +1}{5\cdot n^3-2}

Beispiel 73

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n\ge0}\frac{n-2}{2n^3+5n-3}

Beispiel 74

Man unersuche die folgende Reihe auf Konvergenz: \sum_{n \geq 0} \frac{n+2}{6^n}

kopiert von f.thread:70547

Beispiel 75

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n\ge1}\frac{n!}{n^n}

Beispiel 76

Man untersuche die Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n \ge 0} \frac{2n^2 + 1}{n^4 + 2}

Beispiel 77

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:  \sum_{n \geq 0} \frac{n+3}{7n^2-2n+1}

Beispiel 78

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n\ge0}\frac{n-1}{3^n}

Beispiel 79

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n\ge1}\frac{n^{n-1}}{n!}

Beispiel 80

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n \ge 1} \frac{(n^2 + 1)^n}{\sqrt n^{n^2}}

Beispiel 81

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n\ge 0}\frac{3^{n^2}}{n^n}

Beispiel 82

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+2}}

Beispiel 83

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{n^{\frac{3}{2}}+5n}

Beispiel 84

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n+2}}

Beispiel 85

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

\sum_{n\geq0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+3)^{4/3}}

Beispiel 86

Sei a_n \geq 0 und die Reihe \Sigma_{n \geq 0} \ a_n konvergent. Man zeige, dass auch die Reihe \Sigma_{n \geq 0} \ a_n^2 konvergiert.

Beispiel 87

Gilt Bsp. 86) auch ohne die Voraussetzung a_n \geq 0? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Beispiel 88

Sei a_n \geq 0 und die Reihe \Sigma_{n \geq 0} \ a_n konvergent. Man zeige, dass auch die Reihe \Sigma_{n \geq 0} \ a_n^3 konvergiert.

Beispiel 89

Es sei \lim_{n \to \infty} a_n = a. Man bestimme den Grenzwert der Reihe \sum_{n \ge 0}\left( a_{n+1} - a_n \right).

Beispiel 90

Es sei \lim_{n \to \infty} a_n = a. Man bestimme den Grenzwert der Reihe \sum_{n \ge 0}\left( a_{n+2} - a_n \right).

Beispiel 91

Es sei \lim_{n \to \infty} a_n = 0. Man bestimme den Grenzwert der Reihe \sum_{n \ge 0}(-1)^n\left( a_{n+1} + a_n \right).

Beispiel 92

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:


\sum \limits_{n \geq 0} \binom{\frac 1 2 }{n} = x^n, |x|<1

Beispiel 93

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:


\sum \limits_{n \geq 0} \binom{2n} n x^n, \quad |x| < \frac 1 4

Beispiel 94

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:


\sum \limits_{n \geq 0} \frac{z^{2n + 1}}{(2n+1)!}, \quad z \in \mathbb C

Beispiel 95

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:

\sum \limits_{n\geq 0} \frac{z^{2n}}{(2n)!},\quad z \in \C

Beispiel 96

Man untersuche, für welche x \in \R die folgende Funktionenreihe konvergiert:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}(x-1)^n

Beispiel 97

Man untersuche, für welche x \in \R — die folgende Funktionenreihe konvergiert:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}(x+1)^n

Beispiel 98

Man zeige:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{b^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+b)^n}{n!} für a, b \in \mathbb{R}

Beispiel 99

Man zeige: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n b^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a-b)^n}{n!} für a, b \in \mathbb{R}

Beispiel 100

Man untersuche, welche o-, O- und ~-Beziehungen zwischen den Folgen a_n, b_n und c_n bestehen.

a_n=2n, b_n=\frac{n^2}{2}, c_n=\frac{3n^4}{6n^2+1}

Beispiel 101

Man untersuche, welche o-, O- und ~-Beziehungen zwischen den Folgen a_n, b_n und c_n bestehen.

a_n=\frac{2}{n},\quad b_n=\frac{1}{n^2}, \quad c_n=\frac{8n^2}{4n^3+1}

Beispiel 102

Zeigen Sie die folgenden asymptotischen Beziehungen für die Anzahl der Kombinationen mit bzw. ohne Wiederholungen für festes k und n \to \infty:

 \binom{n}{k} \sim \frac{n^k}{k!}

Das folgende Dokument enthält die Lösung (Beispiel 500)

https://www.informatik-forum.at/attachment.php?attachmentid=1097&d=1052595529

Beispiel 103

Zeigen Sie die folgende asymptotische Beziehung für die Anzahlen der Kombinationen mit bzw. ohne Wiederholungen für festes k und  n \to \infty:

\binom{n+k-1}{k} \sim \frac{n^k}{k!}

Beispiel 104

Zeigen Sie die folgende asymptotische Beziehung für die Anzahl der Variationen ohne Wiederholungen für festes k und n \to \infty:

[n]_k=n(n-1) \cdots (n-k+1)=n^k+O(n^{k-1})

Beispiel 105

Man zeige mit Hilfe der Stirlingschen Approximationsformel n! \sim n^ne^{-n}\sqrt{2 \pi n}:

\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}

Beispiel 106

Mit Hilfe der Stirling'schen Approximationsformel zeige man, dass

\binom{3n}{n} \sim \left(\frac{27}{4}\right)^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n}}.

Beispiel 107

Bestimmen Sie die Größenordnungen von

  1. (a) 2{,}7n^2-0{,}5n+1
  2. (b) 0{,}35\cdot 2^n+5n^5
  3. (c) \sqrt{1+1{,}1\,n^2}

Beispiel 108

Zeigen Sie:

(a) a_n = O(1) \Longleftrightarrow (a_n) ist beschränkt.

(b) a_n = o(1) \Longleftrightarrow (a_n) ist eine Nullfolge.

Beispiel 109

Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

\cos (u+v) = \cos (u) \cos(v) - \sin (u) \sin (v)

Beispiel 110

Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

\cos (u-v) = \cos (u) \cos(v) + \sin (u) \sin (v)


Hilfe:

\cos x = \dfrac {e^{ix} + e^{-ix}}{2}

\sin x = \dfrac {e^{ix} - e^{-ix}}{2i}


\dfrac {e^{i(u-v)} + e^{-i(u-v)}} {2} =  \dfrac {(e^{iu} + e^{-iu})(e^{iv} + e^{-iv})} {4} + \dfrac {(e^{iu} - e^{-iu})(e^{iv} - e^{-iv})}{-4}

\dfrac {2(e^{i(u-v)} + e^{-i(u-v)})} {4} = \dfrac {e^{iu+iv} + e^{iu-iv} + e^{iv-iu} + e^{-iv-iu} - e^{iu+iv} + e^{iu-iv} + e^{iv-iu} - e^{-iv-iu}} {4}

2e^{iu-iv} + 2e^{iv-iu} = 2e^{iu-iv} + 2e^{iv-iu}

Beispiel 111

Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

\sin (u-v) = \sin (u) \cos(v) - \cos (u) \sin (v)

Beispiel 112

Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

\sin (u+v) = \sin (u) \cos(v) + \cos (u) \sin (v)

Beispiel 113

Mit Hilfe der Rechenregeln für die Exponentialfunktion e^x beweise man für den natürlichen Logarithmus \ln(x) folgende Eigenschaften:

  • \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)
  • \ln\left(x^y\right) = y \ln(x)

Beispiel 114

Mit Hilfe der Rechenregeln für die Exponentialfunktion e^x und den natürlichen Logarithmus ln(x) beweise man für eine beliebige Basis a > 0 die Darstellung:

  • a^x = e^{x*ln(a)}
  • log_a(x) = ln(x) / ln(a)

Beispiel 115

Man zeichne den Graphen der Funktion f(x) und bestimme alle Stellen, an denen f(x) stetig ist. (\sgn(x) = 1 für x > 0, \sgn(x) = -1 für x < 0 und sgn(0) = 0.)

 f(x)=(x - \pi/2) \sgn(\cos x)

Beispiel 116

Man zeichne den Graphen der Funktion f(x) und bestimme alle Stellen, an denen f(x) stetig ist.

 f(x)=(x^2-1)\sgn(\sin(\pi x))

Beispiel 117

Man zeichne den Graphen der Funktion f(x) und bestimme alle Stellen, an denen f(x) stetig ist. (\sgn(x) = 1 für x > 0, \sgn(x) = -1 für x < 0 und sgn(0) = 0.)

 f(x)=x \sgn (\sin x)

Beispiel 118

Man zeichne den Graphen der Funktion f(x) und bestimme alle Stellen, an denen f(x) stetig ist. (\sgn(x) = 1 für x > 0, \sgn(x) = -1 für x < 0 und \sgn(0) = 0.)

 f(x)=x \sin (\tfrac \pi 3 \sgn(x))

Beispiel 119

Man skizziere den Verlauf der Funktion f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x) = \sin \frac{1}{x} und beweise, dass f(x) an der Stelle x_0 = 0 keinen Grenzwert besitzt, indem man die beiden Folgen x_n = \frac{1}{n \pi} und x_n = \frac{1}{2 n \pi + \frac{\pi}{2}} betrachtet.

Beispiel 120

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

f(x)=\frac{1-x^3}{x^3}, \quad D_{f}=(1,\infty)

Beispiel 121

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

g(x)=(1+\sqrt{x})^7

Beispiel 122

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

f(x)=\frac{1-x^7}{x^7}, D_{f}=(1,\infty)

Beispiel 123

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

g(x)=(1+\sqrt{x})^5, \quad D_g = (0, \infty)

Beispiel 124

Man zeige, dass die folgende Funktion eine stetige Umkehrfunktion hat und bestimme diese:

f(x)=\frac 1 2 (e^x - e^{-x}),\quad D_f =\mathbb R

Beispiel 125

Man zeige mit Hilfe des Nullstellensatzes, dass die Funktion y = e^{x/2} - 4x + 1 im Intervall [0,1] sowie im Intervall [6,7] je eine Nullstelle besitzt. Wie können diese Nullstellen näherungsweise berechnet werden?

Beispiel 126

Nur teilweise gelöst: Untersuchung auf Differenzierbarkeit fehlt

Man skizziere die Graphen der Funktionen

f_1(x) = \cos x, f_2(x) = \frac{1}{\cos x}, f_3(x) = \cos^2 x, f_4(x) = |\cos x|, f_5(x) = \sqrt{|\cos x|}

im Intervall [0,\pi] und untersuche die Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Beispiel 127

Sei f: [0,a] \rightarrow \mathbb R stetig, f(0) = 0, f(a) > a und f(x) \ne x für 0 < x < a. Man zeige, dass dann auch f(x) > x für 0 < x < a gilt.

Beispiel 128

Man zeige, dass es zu jeder Funktion f:[a,b]\rightarrow [a,b] wenigstens ein x_{0} \in [a,b] mit f(x_{0})= x_{0} gibt.

Beispiel 129

Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f'(x):

f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{\sqrt{x^2-5x+2}}

Beispiel 130

Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f'(x):

f(x) = \arcsin(\sqrt[3]{x^2-2})

Beispiel 131

Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f'(x):

f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 4 \cdot x + 4}}{\sqrt{x^2 - 6\cdot x + 3}}

Beispiel 132

Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f'(x):

f(x) = Arccos(\sqrt[4]{x^2-2})

Beispiel 133

Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f'(x):

f(x) = \sqrt{\frac{x^2 + 2 \cdot x + 1}{x^2 - 4\cdot x + 3}}

Beispiel 134

Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f'(x):

f(x) = \arctan \left(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\right)

Beispiel 135

Man zeige mittels Differenzieren:

\arctan \, \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} + \frac{1}{2} \cdot \arcsin \, x = \frac{\pi}{4} \qquad x \in (-1,1)

Beispiel 136

Man zeige mittels Differenzieren:

Arcsin \, x = Arctan \, (\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}) \qquad x \in (-1,1)

Beispiel 137

Zeigen Sie: Sind g_1(x), \ldots, g_m(x) differenzierbar und g_j(x) \ne 0 für alle j, so gilt

 \frac{(\prod_{j=1}^{m} g_j(x)) '}{ \prod_{j=1}^{m} g_j(x) } =  \sum_{j=1}^{m} \frac{g_j'(x)} {g_j(x)}

Beispiel 138

Man zeige, dass die Funktion \cosh(x) = (e^x + e^{-x})/2 für  x\ge 0 streng monoton wachsend und für x \le 0 streng monoton fallend ist und bestimme jeweils die Umkehrfunktion.

Beispiel 139

Wie ist t zu wählen, damit die Funktion f(x)= (x^2+t)/(x-t) in einer Umgebung der Stelle x_0 = 1 streng monoton fallend ist? Machen Sie eine Skizze.

Beispiel 140

Man diskutiere die Funktion f(x) = \sin{x} - \sqrt{3} \cos{x} im Intervall I = [-\pi, \pi]\!.

Beispiel 141

Man diskutiere die Funktion f(x) = \sin x+ \sqrt 3 \cos x im Intervall I = [0, 2\pi]\!.

Beispiel 142

Man diskutiere die Funktion f(x) = \sin x - \cos x im Intervall I = [0, 2\pi].

Beispiel 143

Man diskutiere die Funktion f(x) = \sin x + cos x im Intervall I = [-\pi, \pi]\!.

Beispiel 144

Man diskutiere die folgende Funktion (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

f(x)=\sin x + (\sin x)^2

Beispiel 145

Man diskutiere die folgende Funktion (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

f(x)=\cos x + (\cos x)^2

Beispiel 146

Man diskutiere die Funktion f(x)=x^2e^{-x^2} (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte,

Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

Beispiel 147

Man diskutiere die Funktion f(x) = e^{-x^2} (d. h. man bestimme Nullstellen, Extrem- werte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

Beispiel 148

Man diskutiere die Funktion definiert durch f(x) = e^{-1/x^2} für x\neq 0 und f(0)=0 (d.h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften,...) und skizziere den Funktionsgraphen.

Beispiel 149

Man diskutiere die Funktion f(x)=xe^{-x^2} (d. h. man bestimme Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, ...) und skizziere den Funktionsgraphen.

Beispiel 150

Man diskutiere die Funktion f(x) = e^{(-1/x)} (d. h. man bestimme Definitionsmenge, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Grenzwerte, Symmetrieeigenschaften, . . . ) und

skizziere den Funktionsgraphen.

Lösung: Datei:TU Wien-Analysis UE (diverse)-Übungen SS13-Beispiel 145 - BSP 145.pdf

Beispiel 151

Sei f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} monoton fallend und differenzierbar. Man zeige, dass dann f'(x) \leq 0 für alle x \in \mathbb{R} gilt.

Beispiel 152

Folgt in Beispiel 151 aus der strengen Monotonie sogar f'(x) < 0 für alle x \in \mathbb{R}? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Beispiel 153

Sei f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} monoton wachsend und differenzierbar. Man zeige, dass dann f'(x) \geq 0 für alle x \in \mathbb{R} gilt.

Beispiel 154

Sei f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} monoton wachsend und differenzierbar. Es gilt f'(x) \geq 0 für alle x \in \mathbb{R}.

Folgt aus der strengen Monotonie sogar f'(x) > 0 für alle x \in \R? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Beispiel 155

Für die Funktion f(x) = x^2 und a < b berechne man eine Stelle c im Intervall [a,b], für die gilt f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (siehe Mittelwertsatz der Differentialrechnung). Man interpretiere das erhaltene Ergebnis an Hand des Funktionsgraphen.

Beispiel 156

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion f(x) = \frac{x+1}{x-1}. Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?

Beispiel 157

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der folgenden Funktion. Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben (Fallunterscheidung nach Restklasse von  n \;\bmod\; 4)?

f(x) = e^x \sin x

Beispiel 158

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der folgenden Funktion. Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben (Fallunterscheidung nach Restklasse von  n \;\bmod\; 4)?

f(x) = e^{-x} \cos x

Beispiel 159

Man leite die unendlichen Reihen für sin(x) und cos(x) durch Entwicklung der beiden Funktionen in eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x_0 = 0 her.

Beispiel 160

Mit Hilfe der Taylorentwicklung approximiere man die Funktion f(x) = 8(x + 1)^{3/2} durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt x_{0} = 0. Wie groß ist der Fehler an der Stelle x = 0,5

? (Hinweis: Den Approximationsfehler stelle man durch das Restglied in Lagrangescher Form dar und schatze diesen Fehler (durch geeignete Wahl der unbekannten Zwischenstelle) nach oben ab.)

Beispiel 161

Mit Hilfe der Taylorentwicklung approximiere man die Funktion f(x) = 8(x + 1)^{3/2} durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt x_{0} = 0. Wie groß ist der Fehler an der Stelle x = 0,3

? (Hinweis: Den Approximationsfehler stelle man durch das Restglied in Lagrangescher Form dar und schatze diesen Fehler (durch geeignete Wahl der unbekannten Zwischenstelle) nach oben ab.)

Beispiel 162

Mit Hilfe der Taylorentwicklung approximiere man die Funktion f(x) = 8(x + 1)^{3/2} durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt x_{0} = 0. Wie groß ist der Fehler an der Stelle x = -0,5

? (Hinweis: Den Approximationsfehler stelle man durch das Restglied in Lagrangescher Form dar und schatze diesen Fehler (durch geeignete Wahl der unbekannten Zwischenstelle) nach oben ab.)

Beispiel 163

Sei T_n(x) das n-te Taylorpolynom der Funktion f(x) = e^x mit Entwicklungspunkt x_0 = 0. Durch Untersuchung des Restglieds R_n(x) in Lagrangescher Form bei dieser Taylorentwicklung gebe man an, wie groß n sein muss, damit an der Stelle x = 0{,}1 der Unterschied zwischen T_n(x) und e^x kleiner als 10^{-9}

ist.

Beispiel 164

Sei T_n(x) das n-te Taylorpolynom der Funktion f(x) = e^x mit Entwicklungspunkt x_0 = 0. Durch Untersuchung des Restglieds R_n(x) in Lagrangescher Form bei dieser Taylorentwicklung gebe man an, wie groß n sein muss, damit an der Stelle x = 0{,}1 der Unterschied zwischen T_n(x) und e^x kleiner als 10^{-10} ist.

Beispiel 165

Gegeben seien die Funktionen f(x)=\frac{1}{1-x}, g(x)=\frac{1}{1+x}und h(x)=\frac{1}{1-x^2}.

  1. (a) Stellen Sie f, g und h als Potenzreihen mit Anschlussstelle x_0 = 0 dar und geben Sie deren Konvergenzradius an.
  2. (b) Berechnen Sie das Cauchyprodukt der Reihen von f und g.

Beispiel 166

Man bilde das Cauchyprodukt der Potenzreihen von \sin x und \cos x (jeweils mit Entwicklungsstelle x_0=0 und zeige damit die Formel \sin x \cos x = (\sin(2x))/2

Beispiel 167

(a) Man zeige \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 und begründe mit Hilfe dieser Formel die Bezeichnung "hyperbolische Winkelfunktion". (Hinweis: Wie lautet die Gleichung einer Hyperbel in Hauptlage?)

(b) Man bestimme die erste Ableitung von \sinh(x) und \cosh(x).

Beispiel 168

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von \cosh(x) an der Stelle x_0 = 0.

Beispiel 169

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von \sinh(x) an der Stelle x_0 = 0.

Beispiel 170

Man beweise die Formel \cosh(x + y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y).

Beispiel 171

Man beweise die Formel \sinh(x + y) = \sinh(x) \cosh(y) + \cosh(x) \sinh(y).

Beispiel 172

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von \arcsin(x) an der Entwicklungsstelle x_0 = 0.

Beispiel 173

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von \arccos(x) an der Entwicklungsstelle x_0 = 0.

Beispiel 174

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von \arctan(x) an der Entwicklungsstelle x_0 = 0.

Beispiel 175

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (x^2 + 1) \sin x an der Stelle x_0 = 0 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Beispiel 176

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (1 - x^2) \cos x an der Stelle x_0 = 0 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Beispiel 177

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (1 + 3x - 3x^2) \cos x an der Stelle x_0 = 1

durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Beispiel 178

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von \cosh(x) an der Stelle x_0 = 1.

Beispiel 179

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von \sinh(x) an der Stelle x_0 = 2.

Beispiel 180

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (x^2 + 1) \sin x an der Stelle x_0 = 3 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Beispiel 181

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (1 - x^2) \cos x an der Stelle x_0 = -1 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Beispiel 182

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (1 + 3x - 3x^2) \cos x an der Stelle x_0 = -3

durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Beispiel 183

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (x^2 + 1) \sin x an der Stelle x_0 = -3 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.

Beispiel 184

Man berechne die Grenzwerte

  1. (a) lim_{x \to 1} \left(\frac{2}{1-x^2} - \frac{3}{1-x^3}\right)
  2. (b) lim_{x \to \infty} \frac{17x^2 + 4x - 1}{x^3 - 12x^2 + 1}

Beispiel 185

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

  1. (a) \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x}
  2. (b) \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2-1}}{\ln(x)}

Beispiel 186

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

  1. (a) \lim_{x \to 1-} \ln(1-x)\cdot \ln(x)(x)
  2. (b) \lim_{x \to \infty} \frac{3x^4}{e^{4x}}

Beispiel 187

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

  1. (a) \lim_{x \to \frac{1}{2}} (1-2x) tan(\pi x)
  2. (b) \lim_{x \to 1} \frac{sin(1-x^2)}{(x-1)(cos(x-1)-1)}

Beispiel 188

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

  1. (a) \lim_{x \to 1-} \ln(1-x) \cdot \ln(x)
  2. (b) \lim_{x \to \infty} x \ln \left ( 1 + \frac{1}{x} \right )

Beispiel 189

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

  1. (a) \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 4x - 5}{\tan(\pi x)}
  2. (b) \lim_{x \to 0} \left(\frac 1 x - \frac 1 {\sin x}\right)

Beispiel 190

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Form:

\lim_{x \to 1/2} (1 - 2x) \tan {\pi x}

Beispiel 191

Man berechne den Grenzwert

\lim_{x \to 0} \frac {\sin(x^2)}{x \sin x}

Beispiel 192

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Form:

\lim_{x\to 1-}\left(\frac \pi 2 \tan \frac {\pi x} 2 - \frac 1 {1-x}\right)

Beispiel 193

Man berechne den Grenzwert

\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^\frac{1}{x^2}

Beispiel 194

Man bestimme den Grenzwert


\begin{align}
    \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x
\end{align}

Beispiel 195

Für die Funktion f(t) = \begin{cases}-1 \, \, \, (t \leq 1) \\ 1 \, \, \, (t > 1)\end{cases}

berechnen Sie F(x) = \int_0^x f(t) \, dt. Ist F(x) stetig bzw. differenzierbar?

Beispiel 196

Für die Funktion f(t) =
\begin{cases}
-2 & (t \leq 1)\\
1  & (t > 1)
\end{cases}

berechnen Sie F(x) = \int_0^x f(t) \, dt. Ist F(x) stetig bzw. differenzierbar?

Beispiel 197

Für die Funktion f(t) =
\begin{cases}
-1 & (t \leq 1) \\
t & (t > 1)
\end{cases}

berechnen Sie F(x) = \int_0^x f(t) \, dt. Ist F(x) stetig bzw. differenzierbar?

Beispiel 198

Für die Funktion f(t) =
\begin{cases}
-t^2 & (t \leq 2)\\
t^2  & (t > 2)
\end{cases}

berechnen Sie F(x) = \int_0^x f(t) \, dt. Ist F(x) stetig bzw. differenzierbar?

Beispiel 199

Für die Funktion f(t) =
\begin{cases}
-t^3 + 1 & (t \leq 3)\\
t^3 - 1  & (t > 3)
\end{cases}

berechnen Sie F(x) = \int_0^x f(t) \, dt. Ist F(x) stetig bzw. differenzierbar?

Beispiel 200

Berechnen sie \int_1^2 x^2 \, dx mit Hilfe von Obersummen bei äquidistanter Teilung.

Beispiel 201

Berechnen Sie \int_2^3 x^2 \, dx mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung. (Hinweis: \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2n +1)}{6}, \, \sum_{k=1}^n k = \frac{n\cdot (n+1)}{2}).

Beispiel 202

Berechnen Sie \int_1^2 x^3dx mit Hilfe von Untersummen bei äquidistanter Teilung.

Hinweise:

  1. (i) Äquidistante Teilung des Intervalls [a,b] bedeuted, dass man die Teilungspunkte x_k = a + (b-a)k/n,\  k=0,1,\dots,n, betrachtet.
  2. (ii) \sum\nolimits_{k=1}^n k=\binom{n+1}{2}
  3. (iii) \sum\nolimits_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  4. (iv) \sum\nolimits_{k=1}^n k^3=\binom{n+1}{2}^2

Beispiel 203

Sei a \geq 0. Berechnen Sie \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{a+1}} \sum_{k=1}^n k^a

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

Beispiel 204

Berechnen Sie

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k(n-k)

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

Beispiel 205

Berechnen Sie \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^n \sqrt{n^{2}-k^{2}}

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

Beispiel 206

Berechnen Sie

\lim_{n \to \infty} n \sum_{k=1}^n \frac 1 {n^2 + k^2}

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

Beispiel 207

Berechnen Sie

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \sqrt{k \cdot (n - k)}

durch Interpretation als Grenzwert einer Riemannschen Zwischensumme.

Hinweis im TUWEL: Substitutieren Sie x=(1+t)/2

Beispiel 208

Mit Hilfe der Substitutionsregel beweise man die nachstehende Integrationsregel

\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,\mathrm dx = \ln \mid u(x) \mid + C

und berechne damit \int \frac{dx}{x \ln x}.

Beispiel 209

Mit Hilfe der Substitutionsregel beweise man die nachstehende Integrationsregel

\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,\mathrm dx = ln \mid u(x) \mid + C

und berechne damit \int \cot x \,\mathrm dx. (\cot(x) := \frac{\cos(x)}{\sin(x)} bezeichnet den Cotangens)

Beispiel 210

Man berechne \int_1^\infty \frac{1}{x \sqrt{x-1}}\,\mathrm dx.

(Anleitung: Zum Integrieren wähle man die Substitution u=\sqrt{x-1}. Ferner beachte

man, dass das angegebene Integral sowohl bei x=1 als auch bei x=\infty uneigentlich ist.)

Beispiel 211

Sei I_n(x) := \int (1+x^2)^{-n} dx \quad (n = 1,2,3\ldots). Durch partielle Integration zeige man die Rekursion
 
\begin{align}
    I_{n+1}(x) = \frac{2n-1}{2n} \cdot I_n(x) + \frac{1}{2n} \cdot \frac{x}{
    (1+x^2)^n}
\end{align}

Mit Hilfe dieser Formel berechne man I_3(x) (beachte I_1(x) = \arctan(x) + C).

Beispiel 212

Man berechne

\int x\cdot \arcsin x\;dx

Beispiel 213

Man berechne:

\int \frac
{4x^3 + x^2 + 3x + 5}
{(x-1)^2 (x^2 + 2x + 3)} dx

Beispiel 214

Man berechne:

 \int \frac{x}{x^3+1} \, dx

Beispiel 215

Man berechne:

\int \frac{x^3 + x^2 + 7}{x^2 + 5x + 6} \, dx

Beispiel 216

Man berechne:


\int \frac {x^2 + 1}
{(x-1)^2 (x+1)^2}dx

Beispiel 217

Man berechne:


\int \frac {x^3 - x^2 + 2}
{x^3 - 3x + 2}dx

Beispiel 218

Man berechne:

\int \frac{x^6-6x + \sqrt{12x}}{x^2} \, dx

Beispiel 219

Man berechne:

\int x^2 \mathrm{cos} \ x \ dx

Beispiel 220

Man berechne:

\int \frac{dx}{x^2 + 2\cdot x + 9}

Beispiel 221

Man berechne:

\int \frac{dx}{2\sin^2x\cos^2x}

Beispiel 222

Man berechne:


\int \frac{e^x}{e^{2x}-e^x-6} \; dx

Beispiel 223

Man berechne:

\int \arccos x \,dx

Beispiel 224

Man berechne

\int x\arctan(x)dx.

Beispiel 225

Man berechne:

\int\frac{(x-3)^{2}}{x^{-7/2}}\cdot dx

Beispiel 226

Man berechne:

\int x \cdot (\ln{x})^2 \, dx

Beispiel 227

Man berechne:

\int \sin{x} \cdot (1+2 \cdot \cos{x})^4 \cdot dx

Beispiel 228

Man berechne:

\int \frac{\sqrt{x+1}} {x} \cdot dx

Beispiel 229

Man berechne:

\int (x^2 + 1)e^{-2x} dx

Beispiel 230

Man berechne das unbestimmte Integral \int \frac{x^2 + 1}{x^3 + x^2 - x - 1}\,\mathrm dx.

Mathebuch Seite 208-209, ist genau dieses Bsp. zu finden... Ja, der erste Versuch ist bei der Partialbruchzerlegung falsch.

Beispiel 231

Man berechne:

\int \frac {x^2+3} {2x^2+7}\,dx

Beispiel 232

Man berechne:

\int{\frac{(e^x-1)}{(e^{2x}+1)}}dx

Beispiel 233

Man berechne:


\int \sqrt{1 + 7x^2}dx

Beispiel 234

Man berechne:

\int \frac{dx}{(1+x).\sqrt{x}}

Beispiel 235

Man berechne:

\int\frac{dx}{\sin x}

Beispiel 236

Man berechne:

 \int_1^{2} (\sqrt[4]{x(\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}))^5 dx

Beispiel 237

Man berechne:

 \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} sin^2(x) + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx

Beispiel 238

Man berechne das bestimmte Integral:

\int_0^{1}  x \arccos x \, dx

Anmerkung SS11:

In der Angabe war ein Fehler. Das Integral hätte von 0 bis  \frac \pi 2 berechnet werden sollen, was aber in dem Fall nicht funktioniert!

Beispiel 239

Man berechne

\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 * cos^2(x) dx

Beispiel 240

Man berechne:

\int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}\right)\,\mathrm dx

Beispiel 241

Man berechne:

\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2 x \,\mathrm dx

Beispiel 242

Man berechne:

\int_0^\frac{\pi}{4} \tan^2 x \,\mathrm dx

Beispiel 243

Man berechne:


\int_{1}^{e} \frac{dx}{x\sqrt{\ln{x}}}

Beispiel 244

Man berechne:

\int_{-1}^1 x^2 \sqrt{1-x^2} \, dx

Beispiel 245

Man berechne:

\int_0^1 \frac{x dx}{\sqrt{1 + x^2}}

Beispiel 246

Man berechne:

\int_0^\infty x \cdot e^{-x} \, dx

Beispiel 247

Man berechne

\int_0^\infty x\cdot e^{-x^2}\;dx

Beispiel 248

Man berechne:

\int_1^\infty  \ln\left(1+\frac 1 x\right) \;dx

Beispiel 249

Man berechne:

\int_1^\infty  \frac {dx} {x^2 \sqrt{1+x^2}}

Beispiel 250

Man berechne:

\int_1^\infty  \frac{dx}{\sqrt x (1+x)}

Beispiel 251

Man berechne:

\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}(1 + x)}

Beispiel 252

Untersuchen Sie folgende uneigentlichen Integrale auf Konvergenz.

\int_0^{\infty} \frac{\vert \sin x \vert}{x^{\frac{3}{2}}} \, dx

Beispiel 253

Man berechne:

\int\limits_1^\infty \frac {|\cos{x}|} {x^2}\,dx

Beispiel 254

Untersuchen Sie folgendes uneigentliches Integral auf Konvergenz.

\int\limits_0^\infty \frac {|\sin{x}|} {x^2}\,dx

Beispiel 255

Man berechne:

\int\limits_1^\infty \frac {\ln{x}} xdx

Beispiel 256

Man berechne:

\int\limits_1^\infty \frac {\ln{x}} {x^2} dx

Beispiel 257

Man berechne:

\int\limits_0^\infty \frac x {e^{x^3}} dx

Beispiel 258

Untersuchen Sie das folgende uneigentliche Integral auf Konvergenz.

\int\limits_0^\infty
\frac {x+3}
{2x^2 + 3x + 2}
\,dx

Beispiel 259

Man berechne:

\int\limits_0^\infty \frac x {e^{x^2}}\,dx

Beispiel 260

Man berechne:

\int\limits_0^\infty
\frac {2x - 1}
{3x^3 + 2x^2 + 3x + 5}
\,dx

Beispiel 261

Man berechne:

\int\limits_0^\infty \frac {\sin x} {x}\, dx

Hinweis: Einmal partiell integrieren und erst danach die Konvergenzuntersuchung vornehmen.

Beispiel 262

Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimalstellen (ohne und mit Computer).

\int_{0}^1 \frac{e^{-x^2}-1+x^2}{x^4} dx

Hinweis: Entwickeln sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviel Terme sind nötig, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen?

Beispiel 263

Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimalstellen (ohne und mit Computer).

\int_{0}^1 \frac{sin(u^2)}{u} du

Hinweis: Entwickeln sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviel Terme sind nötig, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen?

Beispiel 264

Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimalstellen (ohne und mit Computer).

\int_{0}^1 \frac{cos(t^2) - 1}{t^2} dt

Hinweis: Entwickeln sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviel Terme sind nötig, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen?

Beispiel 265

Bestimmen Sie den Wert des folgenden Integrals näherungsweise auf 3 Dezimalstellen (ohne und mit Computer).

Hinweis: Entwickeln Sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviele Terme sind nötig, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen?

\int_0^{\frac{1}{2}}\ln\frac{1}{1-x^3}dx

Beispiel 266

Unersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

\sum_{n\geq 1}\frac 1{n(\ln^2 n - \ln n - 6)}

Beispiel 267

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren:

\sum_{n \ge 1} \frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}

Beispiel 268

Unersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

\sum_{n\geq 2}\frac 1 {n(\ln^\alpha n)} \quad (\alpha > 0)

Beispiel 269

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

\sum_{n \geq 1} f(n) = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{(1+n^2)\;\arctan n}

Beispiel 270

Unersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

\sum_{n\geq 2}\frac 1 {n \ln n \ln^\alpha (\ln n)} \quad (\alpha > 0)

Beispiel 271

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren:

\sum_{n \ge 10} \frac{1}{n \ln n \ln(\ln n) \ln(\ln(\ln n))^{5}}

Beispiel 272

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

\sum_{n \geq 0} ne^{-n}

Beispiel 273

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren:

\sum_{n \ge 0} ne^{-n^2}

Beispiel 276

Unersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgende Reihe konvergiert:

\sum_{n\geq 1}\left(1 + \frac 1 n\right)

Beispiel 287

Man zeige, dass eine Menge O \subseteq \R^2 bzgl. der Euklidischen Metrik d_2 offen ist genau dann, wenn O offen ist bzgl. der Summen-Metrik d_1.

Beispiel 291

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

  1. (a) z = x^2 - y^2
  2. (b) z=\sqrt{1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}}

Beispiel 292

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

  1. (a) z = xy
  2. (b) z=\frac{x}{y}

Beispiel 293

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

  1. (a) z = x^2 + y
  2. (b) z=\frac x {y^2}

Beispiel 294

Gegeben sei die Polynomfunktion z=f(x,y) = xy^2 - 10x. Man bestimme die Gleichungen ihrer Schnittkurven mit den senkrechten Ebenen x = x_0 bzw. y = y_0 sowie die Höhenlinien für z=z_0 und skizziere alle drei Kurvenscharen. Mittels eines Computeralgebrasystems ermittle man eine 3D-Darstellung der gegebenen Funktion.

Beispiel 296

Eine Funktion f(x_1,...,x_n) heißt homogen vom Grad r, falls für jedes feste \lambda > 0 und alle (x_1,...,x_n) aus einem geeigneten Definitionsbereich gilt

f(\lambda x_1,...,\lambda x_n) = \lambda^r f(x_1,...,x_n).

Man beweise, dass die beiden Produktionsfunktionen

(a) f(x,y) = c x^\alpha y^{1-\alpha} und (b) g(x,y) = (cx^\alpha + dy^\alpha)^{1/\alpha}

(x Arbeit, y Kapital, c,d,\alpha konstant) homogene Funktionen vom Homogenitätsgrad r=1 sind.

Beispiel 297

Man prüfe nach, ob nachstehende Funktionen homogen sind:

  1. (a) f(x,y,z) = x + (yz)^{1/2} (für y,z > 0),
  2. (b) f(x,y) = x^2 + y,
  3. (c) f(x,y) = ax^by^c (mit a,b,c \in \mathbb R, x,y > 0).

Beispiel 298

Man untersuche für beliebige \alpha, \beta \in \mathbb{R} den Grenzwert \lim_{t \rightarrow 0} f(\alpha t, \beta t). Ist die Funktion f(x,y) an (0,0) stetig?

f(x,y) = \frac{|y|}{|x|^3 + |y|} \qquad \qquad \text{fuer } \, \, (x,y) \neq (0,0) \, \, \text{ und } \, \, f(0,0) = 1

Beispiel 299

Man untersuche für beliebige \alpha, \beta \in \mathbb{R} den Grenzwert \lim_{t \rightarrow 0} f(\alpha t, \beta t). Ist die Funktion f(x,y) an (0,0) stetig?

f(x,y) = \frac{2y^2}{|x| + y^2} \qquad \qquad \text{fuer } \, \, (x,y) \neq (0,0) \, \, \text{ und } \, \, f(0,0) = 0

Beispiel 300

Sei f(x,y) = \frac{x\cos\frac{1}{x}+y\sin y}{2x-y} für 0 \ne x\ne 2y.

Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte \lim_{y \rightarrow 0} \lim_{x \rightarrow 0} f(x,y) und \lim_{x \rightarrow 0} \lim_{y \rightarrow 0} f(x,y).

Existiert der Grenzwert \lim_{(x,y) \rightarrow(0,0)}f(x,y) ?

Beispiel 301

Sei

f(x,y) = \frac{x+y\cos\frac{1}{y}}{x+y}

für 0 \ne y\ne -x.Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte

\lim_{y \rightarrow 0} \lim_{x \rightarrow 0} f(x,y) und \lim_{x \rightarrow 0} \lim_{y \rightarrow 0} f(x,y).

Existiert der Grenzwert lim_{(x,y) \rightarrow(0,0)}f(x,y) ?

Beispiel 302

Sei

f(x,y) = x^{\frac{1}{y}}

für 0 \ne y und  x\ge 0 . Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte

\lim_{y \rightarrow 0} \lim_{x \rightarrow 1} f(x,y) und \lim_{x \rightarrow 1} \lim_{y \rightarrow 0} f(x,y).

(Untersuchen Sie, ob f(x,y) an der Stelle (1,0) stetig ist?)

ACHTUNG:

Änderung letzter Satz im SS09: Existiert der Grenzwert \lim_{((x,y) \rightarrow (1,0)} ?

Beispiel 303

In welchen Punkten (x, y) ∈ R2 ist die Funktion (ich hoffe, man kann die ascii-art Klammer ({) erkennen, Anm.) r xy² | ---------- für (x,y) != (0,0) f(x, y) = < x² + y^4 | L 0 für (x,y) = (0,0)

stetig?

Beispiel 304

Man untersuche die Funktion f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} auf Stetigkeit. (Hinweis: a + b \geq 2\sqrt{ab} für a,b \geq 0):

f(x,y) = \frac{xy}{|x| + |y|} \qquad \qquad \text{für } \, \, (x,y) \neq (0,0) \, \, \text{ und } \, \, f(0,0) = 0

Beispiel 305

Man untersuche die Funktion f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} auf Stetigkeit. (Hinweis: a + b \geq 2\sqrt{ab} für a,b \geq 0):

f(x,y) = \frac{xy^2 + x^2y}{x^2 + y^2} \qquad \qquad \text{fuer } \, \, (x,y) \neq (0,0) \, \, \text{ und } \, \, f(0,0) = 0

Beispiel 306

Sei f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} definiert durch f(x,y,z) = \frac{1-\cos(xy)}{xyz} + \frac{\sin z}{1+x^2+y^2}. In welchen Punkten des Definitionsbereiches ist

f stetig?

Beispiel 307

Zeigen Sie: Die Komposition stetiger Funktionen f: I \subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n, g: M \subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n mit f(I) \subseteq M ist wiederum stetig.

Beispiel 308

Man untersuche die Stetigkeit der Funktion f:\mathbb R^2\to\mathbb R im Punkt (0, 0).

f(x, y)=\begin{cases}
\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} &\text{fuer } (x, y)\neq(0, 0)\\
0 &\text{fuer } (x, y)=(0, 0)
\end{cases}

Beispiel 309

Man untersuche die Stetigkeit der Funktion f:\mathbb R^2\to\mathbb R im Punkt (0, 0).

f(x, y)=\begin{cases}
\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} &\text{für } (x, y)\neq(0, 0)\\
0 &\text{für } (x, y)=(0, 0)
\end{cases}

Beispiel 310

(a) Für die Funktion f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2} berechne man die partiellen Ableitungen f_x, f_y und die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (x_0,y_0) = (0.2, 0.3).

(b) Man berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die Funktion f(x,y) = x^2\sin y + \cos(x + 2y).

Beispiel 311

Man prüfe nach, ob die gemischten partiellen Ableitungen f_{xy} und f_{yx} für die folgenden Funktionen übereinstimmen:

  1. (a) f(x,y) = \frac{x^2}{1 + y^2}
  2. (b) f(x,y) = x^3e^{y^2}
  3. (c) f(x,y) = \sqrt{xy^3}

Beispiel 312

Man bestimme den Definitionsbereich der Vektorfunktion x(t), sowie die Ableitung x'(t), wo sie existiert:

x(t)=\left(\left(\frac{2t}{\sqrt{1-3t^2}}\right)^{5/4},sin\left(\frac{1}{1+t^2}\right)\right)

Beispiel 313

Man bestimme den Definitionsbereich der Vektorfunktion x(t), sowie die Ableitung x'(t), wo sie existiert:

x(t)=\left(\sin(1+\cos t),\frac{t^{5/4}}{\sqrt{1-t^2}}\right)

Beispiel 314

Das elektrostatische Potential einer Punktladung Q im Koordinatenursprung ist durch


    \varphi_1(x,y,z) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}

gegeben, für das Potential eines Dipols mit dem Dipolmoment \vec{p} = (p,0,0) gilt:


    \varphi_2(x,y,z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{px}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}

(Dabei sind Q, p und \varepsilon_0 Konstante.) In beiden Fällen berechne man das zugehörige elektrische Feld \vec{E} nach der

Formel \vec{E} = -grad  \, \, \varphi.

Beispiel 315

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

f(x,y)=\arctan\left(\frac{4x^2y^2}{1+x+y}\right)

Beispiel 316

Man bestimme die partiellen Ableitungen


    f(x,y,z) = \frac{y + \sqrt{xz}}{1 + \sin^2(xyz)}

Beispiel 317

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

f(x,y)=\arctan\left(\frac{2x^3y}{y-x^3}\right)

Beispiel 318

Man bestimme die partiellen Ableitungen:

f(x,y,z)=\frac{\sqrt x+y^3z^2}{1+\cos^2(1+x)}

Beispiel 319

Man bestimme die Funktionalmatrix zu  f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2:

f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}={\sin(x+y-z) \choose \cos(\frac{xy}{z})}

Beispiel 320

Man bestimme die Funktionalmatrix zu  f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2:

f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}={\frac{x}{y^2z} \choose x^yz^2}

Beispiel 321

Man bestimme die Funktionalmatrix zu  f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^2:

f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}={\sqrt{\frac{x-z}{y+1}} \choose z\cdot e^{-\frac{x}{y}}}

Beispiel 322

Man bestimme die Funktionalmatrix zu f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2:

f\begin{pmatrix}x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\ln(Arctan(x+y^2)) \\ x \cos(y^2 - \sqrt{x}) \cdot \tan(xyz) \end{pmatrix}

Beispiel 323

Durch z = \frac{xy}{x+y} ist eine Fläche in \mathbb{R}^3 gegeben. Die Beschränkung von x und y auf die Werte x = e^{t} und y = e^{-t} (t \in \mathbb R) liefert eine Kurve auf dieser Fläche. Man bestimme \frac{dz}{dt} mit der Kettenregel und mache die Probe, indem man zuerst x und y in z einsetzt und anschließend nach dem Parameter t differenziert. Wo verläuft diese Kurve auf der Fläche horizontal?

Beispiel 324

Es sei g_u(u,v) = \frac\part{\part u}g(u,v) = \frac{1+\tan(u)^2}{v+\tan(u)} und g_v(u,v) = \frac \part {\part v}g(u,v) = (v + \tan(u))^{-1}.

Man bestimme mit Hilfe der Kettenregel h(t) = \frac d {dt}g(2t,t^2 + 1).

Beispiel 325

Es sei g_u(u,v) = \frac\part{\part u}g(u,v) = (1-2u^2)e^{-u^2+v^3} und g_v(u,v) = \frac \part {\part v}g(u,v) = 3uv^2e^{-u^2+v^3}.

Man bestimme mit Hilfe der Kettenregel h(t) = \frac d {dt}g(t^2 -1, 3t).

Beispiel 326

Mit Hilfe der Kettenregel berechne man den Wert der partiellen Ableitung der Funktion F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y)) nach y an der Stelle (0, 0), wobei f(g,h)=g^2+h^2, g(x,y)=\cos x+\sin y und h(x,y)=x+y+1 ist.

Beispiel 327

Es sei F(x,y) = \frac{2x^4+y}{y^5-2x}, x = 2u - 3v + 1, y = u + 2v -2.

Man berechne \frac{\part F}{\part u} und \frac{\part F}{\part v} für u = 2, v = 1 mit Hilfe der Kettenregel.

Beispiel 328

Man bestimme die Ableitung der Funktion f(x,y) in Richtung \frac{\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}}{\left\Vert\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\right\Vert} im Punkt (3,2) mit

  1. (a) f(x,y)=\frac{x^{2}}{1+y^{2}},
  2. (b) f(x,y)= x^3e^{y^2},
  3. (c) f(x,y)= \sqrt{xy^3}.

Beispiel 329

Man berechne die Ableitung von f (x, y) = x^ 2 + 4y^ 2 im Punkt P_0 (3, 2)

  1. (a) in Richtung der Koordinatenachsen,
  2. (b) in Richtung von (−1, −1), sowie
  3. (c) in Richtung von grad f.

Beispiel 330

In welcher Richtung erfolgt die maximale Änderung von


    f(x,y,z) = x^2 \cdot \sin(yz) - y^2 \cdot \cos(yz)

vom Punkt P(4,\frac{\pi}{4},2) aus und wie groß ist sie

annähernd?

Beispiel 331

Gegeben sei die Funktion f : \mathbb R^2 \rarr \mathbb R mit

f(x,y) = \begin{cases}
1 & \text{falls } y - 1 = (x-1)^2 > 0\\
0 & \text{sonst}.
\end{cases}

Zeigen Sie: f ist an der Stelle (1,1) unstetig, aber an dieser Stelle existieren alle Richtungsableitungen und sind identisch 0.

Beispiel 332

Man bestimme die lineare und quadratische Approximation der Funktion

f(x,y) = x^2(y-1) + xe^{y^2}

im Entwicklungspunkt (1,0).

Beispiel 333

Man berechne das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung der Funktion f(x,y) = xye^{x+y} an der Stelle (x_0, y_0) = (1,1)

Beispiel 334

Man berechne das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung der Funktion f(x,y) = x \ln(1 + xy) an der Stelle (x_0, y_0) = (1,0)

Beispiel 335

Man berechne das Taylorsche Näherungspolyom zweiter Ordnung der Funktion f(x,y) = e^{x-y}(x+1) + x\sin(x^2 - y) an der Stelle

(x_0,y_0) = (0, \frac{\pi}{2}).

Beispiel 336

Man berechne das Taylor'sche Näherungspolynom zweiter Ordnung der Funktion f(x,y,z)=e^{x^2yz}(x+yz+1)+x\cos(x^2-y-z) an der Stelle (x_0,y_0,z_0)=(0,0,\frac{\pi}{2}).

Beispiel 337

Für die Funktion f(x,y,z) = x^3 \cos(x^2 - \arctan(y - z)) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (x_0, y_0, z_0) = (0, 0, \frac \pi 2).

Beispiel 338

Für die Funktion f(x,y,z) = x \cos(x - y - z) berechne man das Taylorsche Näherungspolynom zweiter Ordnung an der Stelle (x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 2).

Beispiel 339

Man bestimme \frac{dy}{dx} für folgende implizit gegebene Kurven:

  1. (a) x^{2/3} + y^{2/3} = 1 für x_0 = 0.5
  2. (b) x^3 + y^3 - 2xy = 0 für x_0 = 1

Beispiel 340

Es sei F(x,y) = e^x \sin y+e^y \sin x-1 = 0. Man berechne \frac{dy}{dx} und \frac{d^2y}{dx^2} im Punkt (\pi/2,0).

Beispiel 341

Es sei F(x,y)=x^3-3xy+y^3-1=0. Man berechne y' und y''.

Beispiel 342

Man berechne y' und y'' im Punkt (1,1) der Kurve x^3 + 3x^2y - 6xy^2 +2 y^3 = 0.

Beispiel 343

Es sei F(x,y,z)=x^2(2x+3z)+y^2(3x-4z)+z^2(x-2y)-xyz=0.

Man berechne z_x und z_y.

Beispiel 344

In welchen Punkten der Kurve x^2+4xy+16y^2=27 sind die Tangenten horizontal, in welchen vertikal?

Beispiel 345

Bestimmen Sie alle Tangenten mit Anstieg \pm1 an die Kurve 2x^2-4xy+9y^2=36 .

Beispiel 346

Man ermittle die Gleichungen einer Tangente aus dem Punkt (0,0) an die durch y^3 = x^3 - 2x + 2 bestimmte Kurve.

Beispiel 347

Gegeben sei die quadratische Form  q(\vec {x}) = q(x,y) = 4x^2 + 2bxy + 25y^2, b\in R. 1) Wie lautet die zugehörige symetrische Matirx A, sodaß  q(\vec{x}) = \vec{x}^T A\vec{x}  ?

2) Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?

Beispiel 348

Bestimmen sie einen Wert  a\in N sodaß die quadratische Form  3x^2 + axy + 2xz + 2y^2 +2yz +2z positiv definit ist.

Beispiel 349

Bestimmen Sie einen Wert a \in \mathbb{Z}, sodaß die quadratische Form x^2+axy+3xz+y^2-2yz+4z^2 positiv definit ist

Beispiel 350

Bestimmen Sie einen Wert a \in \mathbb{Z}, sodass die quadratische Form -x^2+axy-3xz+y^2-2yz+4z^2 negativ definit ist.

Beispiel 351

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

A =
\begin{pmatrix}
4 & 2 & 2\\
2 & 2 & 3\\
2 & 3 & 14
\end{pmatrix}

Beispiel 352

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

A =  \begin{pmatrix} -2 & -1 & 4 \\ -1 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -10 \end{pmatrix}

Beispiel 353

Bestimmen Sie das Definitheitsverhalten der folgenden Matrix:

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 
                          1 & -3 & -7 \\
                          1 & -7 & -20 \end{pmatrix}

Beispiel 357

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x, y) im angegebenen Bereich:

f(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2) für x,y\in\mathbb R

Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante negativ ist.

Beispiel 358

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x, y) im angegebenen Bereich:

f(x,y) = 2x^3 - 5xy^2 + 3y für x, y \in R

Beispiel 359

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x,y) im angegebenen Bereich:

f(x,y)=x^2+xy+y^2+x+y+1 für x,y\in\mathbb R

Beispiel 360

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x,y) im angegebenen Bereich:

f(x,y)=(x^2+5y^2)e^{-x^2-y^2} für x,y\in\mathbb R

Beispiel 362

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x, y) im angegebenen Bereich:

f(x,y)= \sin (x+y) + \sin x + \sin y für  0 \le x,y\le \pi/2

Beispiel 364

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x, y) im Inneren des angegebenen Bereichs und alle absoluten Extrema im gesamten, angegeben Bereich.

f(x,y)= \sin(x+y) + \sin x - \sin y für  0 \le x,y\le \pi/2

Hinweis: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann indefinit, wenn ihre Determinante negativ ist.

Beispiel 365

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x, y) im angegebenen Bereich:

f(x,y)= \sin(x+y) + \sin x - \sin y für  0 \le x,y\le \pi

Beispiel 366

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion f(x, y) im angegebenen Bereich:

f(x,y)= cos(x+y) + sinx + siny für  0 \le x,y\le \pi/2

Beispiel 368

Man bestimme die relativen Extrema der Funktion f(x,y) = 4(x-2)(y^2 + 10y) + 3x^3.

Beispiel 369

Man bestimme die Extrema von f(x,y) = x^2 + 3xy + 2y^2.

Beispiel 370

Man bestimme das absolute Maximum der Funktion f(x,y) =xy(3 - x -y) auf dem Definitionsbereich D=\{(x,y)|x \geq 0, y \geq 0, y \leq 3 - x\}.

(Anleitung: Man skizziere den Definitionsbereich D in der (x,y)-Ebene, bestimme dessen Rand und ermittle alle Funktionswerte auf dem Rand. Das absolute Maximum ist dann unter den relativen Maxima sowie unter den Funktionswerten am Rand von D zu suchen.)

Beispiel 371

Durch Einsetzen bestätige man, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

x^2\frac{d^2y}{dx^2} - 6y = 12\ln x

durch

y(x) = C_1x^3 + \frac{C_2}{x^2} - 2\ln x + \frac{1}{3}, C_1, C_2 \in \mathbb{R}

gegeben ist. Wie lautet die partikuläre Lösung zu den Anfangsbedingungen y(1) = \frac{2}{3}, y'(1) = -1 \,?

Beispiel 373

Man ermittle das Richtungsfeld der Differentialgleichung y' = \frac{y}{x} und überlege, ob es durch jeden Punkt der (x,y)-Ebene genau eine Lösung der Gleichung gibt.

Beispiel 374

Gegeben ist die Differentialgleichung y'=axy mit a reell. Man skizziere das Richtungsfeld und die Isoklinen für a=-2, a=-1 und a=1.

Quelle: WS 05 Gittenberger Bsp. 1

Beispiel 377

Man löse die homogene lineare Differentialgleichung y' - y\tan x = 0.

Beispiel 378

Man löse die inhomogene lineare Differentialgleichung xy' + y = x^2 + 3x + 2.

Beispiel 379

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung y' + y\cos x = \sin x \cos x zur Anfangsbedingung y(0) = 1.

Beispiel 380

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

y'=y\sin(x) \,

Beispiel 381

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

y-xy'+1=0 \,

Beispiel 382

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

y' + \frac{1}{1-x}y = x^2, \qquad y(0) = 1

Beispiel 383

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

y'+\frac{1}{1+2x}y=2x-3 , y(0)=2 \,

Beispiel 384

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

y'=sin^2(x)cos^2(x) \,

Das ist ein Beispiel einer NICHTLINEAREN Differentialgleichung erster Ordnung, das ist nicht Teil des Stoffes!

Beispiel 385

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

xy'=yln(\frac{y}x) \,

Das ist ein Beispiel einer NICHTLINEAREN Differentialgleichung erster Ordnung, das ist nicht Teil des Stoffes!

Beispiel 386

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) y''-8y'-20y=0

(b) y''+8y'+16y=0

(c) y''-8y'+25y=0

Beispiel 387

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) \ y'' - 6y' - 27y = 0

(b) \ y'' + 6y' + 9y = 0

(c) \ y'' - 6y' + 25y = 0

Beispiel 388

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) y''-12y'+36y=0 \,

(b) y''+12y'+60y=0 \,

(c) y''-12y'+25y=0 \,

Beispiel 389

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

  1. (a) y''-10y'+100y=0 \,
  2. (b) y''+10y'+16y=0 \,
  3. (c) y''-10y'+25y=0 \,

Beispiel 390

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung

 y'' + 2y' + 2y = 0

zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1 und y'(0) = 0.

Beispiel 391

Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y'' - y' - 2y = x.

Beispiel 392

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

xy'-y=x^3+3x^2-2x \,

Beispiel 393

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

y' + \frac{y}{x}-e^x=0 \,

Beispiel 394

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

y' + 2(cot(x))y + sin(2x) = 0 \,

Beispiel 395

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

y' + y cot(x) = 5e^{cos(x)}, y(\frac{\pi}2)=-4 \,

Beispiel 397

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

xy' = y+x^2cos(x)\,

Beispiel 398

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

y'' - y = 4e^x

Beispiel 399

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichungen

y'' + 7y' + 6y = \cosh(x)

Quelle: WS 05 Gittenberger Bsp. 49

Beispiel 400

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung bzw. die Lösung der Anfangswertaufgabe:

y'' + 4y' + 4y = e^{-2x}

Beispiel 402

Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:

 y''-2y'=e^x \sin x

Beispiel 406

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

 y''-y'+y=x\,

Beispiel 407

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

y'=-\frac{1}{x}y+\frac{ln(x)}{x} \,

Beispiel 408

Man löse das Gleichungssystem:

\begin{matrix}
-0.35x_1 & + &   1.5x_2 & + & 122.2x_3 & = & 126 \\
105.7x_1 & - & 440.9x_2 & - & 173.7x_3 & = & -1285 \\
 21.5x_1 & - & 101.8x_2 & + &  33.4x_3 & = & -229
\end{matrix}

mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens (a) ohne Pivotisierung, (b) mit Pivotisierung bei einer Rechengenauigkeit von 4 signifikanten Stellen

Beispiel 410

Man vergleiche die Lösungen der beiden linearen Gleichungssysteme A\vec{x} = \vec{b_1}, A\vec{x} = \vec{b_2} mit

A = \begin{pmatrix}3,9 & -10,7 \\ -9,3 & 25,5 \end{pmatrix}, \vec{b_1} = \begin{pmatrix}-290 \\ 690 \end{pmatrix}, \vec{b_2} = \begin{pmatrix}-291 \\ 689 \end{pmatrix}

Was kann daraus geschlossen werden?

Beispiel 412

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

x^2y'' - 5xy' + 5y = 0\, .Ansatz: y(x)=x^r\,

Das ist ein Beispiel einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung OHNE KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN, das ist nicht Teil des Stoffes!

Beispiel 413

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

x^3y''' - 3x^2y'' + 6xy'-6y = 0\, .Ansatz: y(x)=x^r\,

Das ist ein Beispiel einer linearen Differentialgleichung dritter Ordnung OHNE KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN, das ist nicht Teil des Stoffes!

Beispiel 414

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

x^2y'' + 3xy'-3y = 0\, .Ansatz: y(x)=x^r\,

Das ist ein Beispiel einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung OHNE KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN, das ist nicht Teil des Stoffes!

Beispiel 415

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

x^2y'' - xy' - 3y = x\, .Ansatz: y(x)=x^r\,. Zur Bestimmung von Yp(x) versuchen Sie die Standardansätze.

Beispiel 416

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:

x^2y''+ xy' - 3y = 5x^2\, .Ansatz: y(x)=x^r\,. Zur Bestimmung von Yp(x) versuchen Sie die Standardansätze.