TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 341

Es sei $F(x,y)=x^{3}-3xy+y^{3}-1=0$. Man berechne $y'$ und $y''$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Hauptsatz_über_implizite_Funktionen

Hauptsatz über implizite Funktionen

$D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offene Menge, $F:D\to \mathbb {R}$ stetig differenzierbare Funktion, $F(x_{0},y_{0})=0,F_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0$

Dann gibt es in der Umgebung $(x_{0},y_{0})$ eine eindeutig bestimmbare und stetig differenzierbare Lösung y(x) und es gilt:

$y'(x)=-{\frac {F_{x}(x,y(x))}{F_{y}(x,y(x))}}$

Lösung

Die Lösung kann streng genommen nur für den Punkt $(1,-{\sqrt {3}})$ bestimmt werden.

Als erstes berechnen wir $F_{x}=3(x^{2}-y),F_{y}=3(y^{2}-x)$ und überprüfen, dass $F(1,-{\sqrt {3}})=0,F_{y}(1,-{\sqrt {3}})\neq 0$. Daher gilt Satz 6.22.

Nachdem der Online-Ableitungsrechner [1] dasselbe Ergebnis herausgibt wie die Formel

$y'(x)=-{\frac {F_{x}(x,y(x))}{F_{y}(x,y(x))}}=-{\frac {3(x^{2}-y(x))}{3(y(x)^{2}-x)}}={\frac {y(x)-x^{2}}{y(x)^{2}-x}}$

wird wohl auch dessen y" passen. Nur sollte statt y immer y(x) stehen. Jetzt ist noch der gegebene Punkt in y' und y" einzusetzen.

Links

• Diskussion im Informatikforum (SS07)

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