TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 341

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Es sei F(x,y)=x^3-3xy+y^3-1=0. Man berechne y' und y''.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Hauptsatz über implizite Funktionen[Bearbeiten]

D \subseteq \mathbb{R}^2 offene Menge, F : D \to \mathbb{R} stetig differenzierbare Funktion, F(x_0, y_0) = 0, F_y(x_0, y_0) \neq 0

Dann gibt es in der Umgebung (x_0, y_0) eine eindeutig bestimmbare und stetig differenzierbare Lösung y(x) und es gilt:

y'(x) = -\frac{F_x(x, y(x))}{F_y(x, y(x))}

Lösung[Bearbeiten]

Die Lösung kann streng genommen nur für den Punkt (1,-\sqrt{3}) bestimmt werden.

Als erstes berechnen wir F_x=3(x^2-y), F_y=3(y^2-x) und überprüfen, dass F(1,-\sqrt{3}) = 0, F_y(1,-\sqrt{3}) \neq 0. Daher gilt Satz 6.22.

Nachdem der Online-Ableitungsrechner [1] dasselbe Ergebnis herausgibt wie die Formel


y'(x) = - \frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))} = -\frac{3(x^2-y(x))}{3(y(x)^2-x)} = \frac{y(x)-x^2}{y(x)^2-x}

wird wohl auch dessen y" passen. Nur sollte statt y immer y(x) stehen. Jetzt ist noch der gegebene Punkt in y' und y" einzusetzen.

Links[Bearbeiten]