TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 341

Es sei $F(x,y)=x^3-3xy+y^3-1=0$. Man berechne $y^{\prime }$ und $y^{″}$.

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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Hauptsatz_über_implizite_Funktionen

Hauptsatz über implizite Funktionen

$D\subseteq {ℝ}^2$ offene Menge, $F:D\to ℝ$ stetig differenzierbare Funktion, $F(x_0,y_0)=0,F_y(x_0,y_0)\ne 0$

Dann gibt es in der Umgebung $(x_0,y_0)$ eine eindeutig bestimmbare und stetig differenzierbare Lösung y(x) und es gilt:

$y^{\prime }(x)=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))}$

Lösung

Die Lösung kann streng genommen nur für den Punkt $(1,-\sqrt{3})$ bestimmt werden.

Als erstes berechnen wir $F_x=3(x^2-y),F_y=3(y^2-x)$ und überprüfen, dass $F(1,-\sqrt{3})=0,F_y(1,-\sqrt{3})\ne 0$. Daher gilt Satz 6.22.

Nachdem der Online-Ableitungsrechner [1] dasselbe Ergebnis herausgibt wie die Formel

$y^{\prime }(x)=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))}=-\frac{3(x^2-y(x))}{3(y(x{)}^2-x)}=\frac{y(x)-x^2}{y(x{)}^2-x}$

wird wohl auch dessen y" passen. Nur sollte statt y immer y(x) stehen. Jetzt ist noch der gegebene Punkt in y' und y" einzusetzen.

Links

• Diskussion im Informatikforum (SS07)

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