TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 79

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Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

\sum_{n\ge1}\frac{n^{n-1}}{n!}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Quotientenkriterium[Bearbeiten, WP, 4.52 Satz]

Wenn \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q<1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n absolut konvergent.

Falls hingegen \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\geq 1\;\forall n\geq n_0, dann ist \sum a_n divergent.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

\begin{align}
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \frac{\frac{(n+1)^{n+1-1}}{(n+1)!}}{\frac{n^{n-1}}{n!}} \\
&= \frac{(n+1)^n\cdot n!}{(n+1)! \cdot n^{n-1}} \\
&= \frac{(n+1)\cdot (n+1)^{n-1}\cdot n!}{(n+1) \cdot n! \cdot n^{n-1}} \\
&= \frac{(n+1)^{n-1}}{n^{n-1}} \\
&= \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n-1} \\
&= \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1}
\end{align}

Da \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1} für n>1 größer als 1 ist, ist die Reihe divergent.