TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 79

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\ge 1}\frac{n^{n-1}}{n!}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Quotientenkriterium

Wenn $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le q<1\mathrm{\forall }n\ge n_0$, dann ist $\sum a_n$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge 1\mathrm{\forall }n\ge n_0$, dann ist $\sum a_n$ divergent.   (Satz 4.52)

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|& =\frac{\frac{(n+1{)}^{n+1-1}}{(n+1)!}}{\frac{n^{n-1}}{n!}}\\ & =\frac{(n+1{)}^n\cdot n!}{(n+1)!\cdot n^{n-1}}\\ & =\frac{(n+1)\cdot (n+1{)}^{n-1}\cdot n!}{(n+1)\cdot n!\cdot n^{n-1}}\\ & =\frac{(n+1{)}^{n-1}}{n^{n-1}}\\ & ={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n-1}\\ & ={(1+\frac{1}{n})}^{n-1}\end{array}$

Da ${(1+\frac{1}{n})}^{n-1}$ für $n>1$ größer als $1$ ist, ist die Reihe divergent.