TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 79

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum _{n\geq 1}{\frac {n^{n-1}}{n!}}$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Quotientenkriterium

Wenn $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q<1\;\forall n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1\;\forall n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ divergent.   (Satz 4.52)

Lösungsvorschlag

${\begin{aligned}\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&={\frac {\frac {(n+1)^{n+1-1}}{(n+1)!}}{\frac {n^{n-1}}{n!}}}\\&={\frac {(n+1)^{n}\cdot n!}{(n+1)!\cdot n^{n-1}}}\\&={\frac {(n+1)\cdot (n+1)^{n-1}\cdot n!}{(n+1)\cdot n!\cdot n^{n-1}}}\\&={\frac {(n+1)^{n-1}}{n^{n-1}}}\\&=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n-1}\\&=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}\end{aligned}}$

Da $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}$ für $n>1$ größer als $1$ ist, ist die Reihe divergent.