TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 87

Gilt Bsp. 86) auch ohne die Voraussetzung $a_{n}\geq 0$? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_{n}$, d.h. $\operatorname {sgn}(a_{n})\ =\ (-1)^{n}$, und $\left|a_{n}\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ gilt:

$\sum a_{n}$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Lösungsvorschlag von flowlo

Gegenbeispiel: Es eignen sich alternierende Reihen, konvergent nach dem Konvergenzkiterium von Leibniz, wie $\Sigma _{n\geq 0}\ {\frac {(-1)^{n}\cdot 4}{2n+1}}\longrightarrow \pi$ oder die Angabe aus Bsp. 82)

--Flowlo (Diskussion) 09:15, 9. Apr. 2014 (CEST)