TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 82

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Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

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Lösungsvorschlag von Hapi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erst einmal einige Überlegungen zu dieser offensichtlich geometrischen Reihe:

1. Die Reihe ist jedenfalls alternierend, beginnend mit , dann

2. Reihe monoton fallend, nächste Glieder: , dann ; Reihe daherer alternierenden Reihe 1/(n+ konstanter Betrag)

3. Glieder konvergieren gegen 0, d.h. = 1 / unendlich und liegen bereits bei

     n = 10 zwischen 0,41 und 0,31)

4. Somit trifft der Satz von Leibnitz zu: an+1 =< an, ---> lim an = 0 ---> Reihe konvergent (hinreichend)

5. Reihe ist dann absolut konvergent, wenn die Summe der Beträge der Elemente konvergent ist

   | ak| =< ||ak| < Epsilon ; trifft bei alternierender Reihe zu

Schlußfolgerung: Reihe ist konvergent und absolut konvergent

Hapi


Lösung Übungsstunde Urbanek:

Alternierende Reihe, Leibnitzkriterium, Reihe monoton fallend, konvergiert gegen 0.

Das hatten wir auch. Dann hat er mit Ungleichungen gearbeitet:

  

1/n * einer Konstanten ist eine harmonische Reihe, die ist aber divergent, somit keine absolute Konvergenz.

Da lagen wir leider etwas daneben.


Lösungsvorschlag von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

  • Ist konvergent, dann gilt , aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
  • heißt absolut konvergent, wenn konvergent ist.   (Definition 4.43)
"absolut konvergent" "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)
Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe , d.h. , und monoton fallend und konvergent nach gilt:

ist konvergent.   (Satz 4.41)

Minorantenkriterium


Wenn und zwei Reihen sind, für fast alle gilt und divergent, dann ist auch divergent.   (Satz 4.48)

Harmonische Reihe

Die harmonischen Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

  (Beispiel 4.36)

  • Die Reihe ist eine alternierende welche, wie man aus dem Koeffizienten sieht.
  • Der Absolutwert der Folgeglieder ist konvergent gegen Null: .

Das paßt haargenau aufs Leibnitzkriterium konvergent.


Für die absolute Konvergenz muß man zeigen, daß konvergiert bzw. divergiert.

Da die Folge , sieht man anhand des Minorantenkriteriums, daß die Reihe divergiert.

Die Reihe ist also nicht absolut konvergent.

--Baccus 20:15, 25. Jan 2007 (CET)

Lösungsvorschlag von Kujaku[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quotientenkriterium:

Wenn , dann ist absout konvergent.

Gleichbedeutend mit:

Wenn , dann ist absout konvergent.

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schritt 1-4 von Hapi, Schritt 5:

da n+1 im nenner steht, wird der nenner bei genügend großem n immer größer sein als der zähler => w.A.

anmerkung koDiacc. < 1 reicht imo nicht, es muss heißen <= q < 1 , d.h. man muss eine zahl finden q, und man muss angeben ab welchem n das für alle n gilt.

ob es mit der limesform des Quotientenkriterium funktioniert weiß ich auch nicht. da laut wolframalpha der grenzwert genau 1 ist und nicht < 1

Man sieht auch beim Plot sehr schön, dass der Nenner den Zähler nicht "überholt" .. das n wächst gleich schnell, ein + 2n verändert es nicht im exponentiellen http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sqrt%28n%5E2%2B2%29%2C+sqrt%28%28n%2B1%29%5E2%2B3%29+from+0+to+20

Anm.: Auch Limesform des Quotientenkriteriums hilft hier nicht, da es für den Fall =1 kein Ergebnis liefert. D.h. das Quotientenkriterium führt hier nicht zum Ziel.

Lösungsvorschlag von Padraig[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Prinzip ähnlich bzw. aufbauend auf den vorherigen Lösungsvorschlägen...


  • Definition - Konvergenzkriterium von Leibniz: Eine alternierende Reihe , für die eine monoton fallende Nullfolge ist, ist konvergent.
  • Definition - Minorantenkriterium: Seien und zwei Reihen, sodass für fast alle n. Falls divergent ist, so ist auch die Reihe divergent.

Untersuche man nun, ob das Konvergenzkriterium von Leibniz anwendbar ist. Erleichtern wir uns dies, indem wir die Reihe anders anschreiben...

Zu überprüfen ist also gemäß Leibniz die Konvergenz von , wobei . Der Verdacht liegt schon nahe, dass sie monoton fallend ist. Wir sehen...

für alle

... dass sie streng monoton fallend ist. Nun zum Beweis, dass es eine Nullfolge ist, durch das Sandwich-Theorem:

Somit greift also das Konvergenzkriterium von Leibniz, und unsere Reihe ist konvergent. Was damit aber noch nicht geklärt ist, ist die absolute Konvergenz. In unserem Falle bedeutet dies, dass ...

Hierbei hilft uns nun das Minorantenkriterium, wobei wir eine Folge finden müssen, sodass gilt. Selbstverständlich gilt, dass ...


Schließlich erkennen wir, dass eine harmonische Reihe divergent ist. Gemäß Minorantenkriterium ist somit auch die Folge divergent. Es handelt sich somit um keine absolute Konvergenz, und der Beweis ist abgeschlossen.


--Padraig (Diskussion) 11:13, 05. Apr. 2022 (CEST)

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]