TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 84

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
$\sum_{n \geq 0} \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt[3]{n + 2}}$

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Hilfreiches

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

Ist $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ konvergent, dann gilt $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ , aber nicht umgekehrt. (Satz 4.35)
$\sum a_{n}$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum | a_{n} |$ konvergent ist. (Definition 4.43)

"absolut konvergent" ${\begin{matrix} \Rightarrow \\ \underset{i . A .}{⇍} \end{matrix}}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz. (Satz 4.44)
Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_{n}$ , d.h. $sgn (a_{n}) = (- 1)^{n}$ , und $| a_{n} |$ monoton fallend und konvergent nach $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ gilt:

$\sum a_{n}$ ist konvergent. (Satz 4.41)

Minorantenkriterium

Wenn $\sum a_{n}$ und $\sum b_{n}$ zwei Reihen sind, $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ für fast alle $n$ gilt und $\sum a_{n}$ divergent, dann ist auch $\sum b_{n}$ divergent. (Satz 4.48)

Harmonische Reihe

Die harmonischen Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ (Beispiel 4.36)

Lösungsvorschlag

Aufgrund von $lim_{n \to \infty} | \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt[3]{n + 2}} | = lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n + 2}} = 0$ ist die Reihe konvergent.

Aufgrund von $\sum_{n \geq 0} \frac{1}{\sqrt[3]{n + 2}} > \sum_{n \geq 1} \frac{1}{\sqrt[3]{n}} > \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} = \infty$ ist die Reihe nur bedingt konvergent.

Frage: Gehören in der letzten Zeile nicht die beiden ersten Terme vertauscht?

Antwort: Nein, hier wird die Divergenz mit dem Minorantenkriterium gezeigt

Gegenfrage:

Das kann ja nicht sein: $\frac{1}{\sqrt[3]{n + 2}} > \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$

Stimmt ja schon Term für Term nicht.

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