TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS20/Beispiel 37

Man berechne die folgenden unbestimmten Integrale:

(a) $\int {\frac {12x^{7}+5x-{\sqrt {x^{3}}}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x$

(b) $\int (x^{2}+x+1)\ln {x}\,\mathrm {d} x$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 1 (a)

Beispiel (b)- KönigD

Wir werden hier mit substitution arbeiten. Somit brauchen wir folgende Formel

$\int f'(x)*g(x)dx=f(x)*g(x)-\int f(x)*g'(x)dx$

Zuerst müssen wir aus der Formel $\int (x^{2}+x+1)ln(x)$ das $f'(x)$ & $g(x)$ bestimmten. Der Tipp hier ist das $g(x)$ so zu wählen, dass im Endeffekt das integral einfacher wird.

In unserem Falle wählen wir

$g(x)=ln(x)$

$g'(x)={\frac {1}{x}}$

$f'(x)=(x^{2}+x+1)$

$f(x)=({\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+x)$

Wenn wir dies nun in die Formel für substitution einfügen haben wir folgende Lösung

$({\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+x)*ln(x)-\int ({\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+x)*{\frac {1}{x}}dx$

$=({\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+x)*ln(x)-\int ({\frac {x^{2}}{3}}+{\frac {x}{2}}+1)dx$

$=({\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+x)*ln(x)-[({\frac {x^{3}}{9}}+{\frac {x^{2}}{4}}+x)]+C$

$=({\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+x)*ln(x)-{\frac {x^{3}}{9}}-{\frac {x^{2}}{4}}-x+C$