TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS20/Beispiel 37

Man berechne die folgenden unbestimmten Integrale:

(a) $\int \frac{12x^7+5x-\sqrt{x^3}}{x^2}\mathrm{d}x$

(b) $\int (x^2+x+1)\ln x\mathrm{d}x$

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Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 1 (a)

Beispiel (b)- KönigD

Wir werden hier mit substitution arbeiten. Somit brauchen wir folgende Formel

$\int f^{\prime }(x)\ast g(x)dx=f(x)\ast g(x)-\int f(x)\ast g^{\prime }(x)dx$

Zuerst müssen wir aus der Formel $\int (x^2+x+1)ln(x)$ das $f^{\prime }(x)$ & $g(x)$ bestimmten. Der Tipp hier ist das $g(x)$ so zu wählen, dass im Endeffekt das integral einfacher wird.

In unserem Falle wählen wir

$g(x)=ln(x)$

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

$f^{\prime }(x)=(x^2+x+1)$

$f(x)=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x)$

Wenn wir dies nun in die Formel für substitution einfügen haben wir folgende Lösung

$(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x)\ast ln(x)-\int (\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x)\ast \frac{1}{x}dx$

$=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x)\ast ln(x)-\int (\frac{x^2}{3}+\frac{x}{2}+1)dx$

$=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x)\ast ln(x)-[(\frac{x^3}{9}+\frac{x^2}{4}+x)]+C$

$=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x)\ast ln(x)-\frac{x^3}{9}-\frac{x^2}{4}-x+C$