TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 1

(1P) Aussagenlogik

In der Mathematik verwendet man oft folgende Symbole: ${\textstyle \rightarrow }$ für Implikation (wenn...dann); ${\textstyle \land }$ für "und", ${\textstyle \lor }$ für "oder" und ¬ für "nicht". In der (etwas schammigeren) Alltagssprache werden diese Begriffe manchmal anders verwendet als in der Mathematik.

Im folgenden wird jeweils ein Satz zuerst informell und dann mit den gerade erwähnten Symbolen aufgeschrieben. Geben Sie an ob der Satz wahr ist oder nicht. (Dabei steht ${\textstyle A}$ und ${\textstyle B}$ für irgendwelche beliebigen mathematischen Aussagen.)

(a) Wenn ${\textstyle 1+2=5}$, dann ist ${\textstyle 1+3=6}$
${\textstyle 1+2=5\rightarrow 1+3=6}$

(b) Wenn ${\textstyle 1+2=5}$, dann ist ${\textstyle 1+3=7}$
${\textstyle 1+2=5\rightarrow 1+3=7}$

(c) ${\textstyle A}$ gilt oder ${\textstyle A}$ gilt nicht.
${\textstyle A\lor \lnot A}$

(d) ${\textstyle 1+1=1}$ oder ${\textstyle 1+1=2}$
${\textstyle 1+1=1\lor 1+1=2}$

(e) ${\textstyle 1+1=2}$ oder ${\textstyle 1+1=2}$
${\textstyle 1+1=2\lor 1+1=2}$

(f) Wenn ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ impliziert, dann impliziert ${\textstyle B}$ ${\textstyle A}$.
${\textstyle (A\rightarrow B)\rightarrow (B\rightarrow A)}$

(g) Wenn ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ impliziert, und ${\textstyle A}$ gilt, dann gilt ${\textstyle A}$.
${\textstyle ((A\rightarrow B)\land A)\rightarrow B}$

(h) Wenn ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ impliziert, dann impliziert (nicht ${\textstyle B}$) (nicht ${\textstyle A}$).

${\textstyle (A\rightarrow B)\rightarrow (\lnot B\rightarrow \lnot A)}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Dieses Beispiel kann zum Teil sehr gut mit einer Wahrheitstabelle gelöst werden.

Lösungsvorschlag von Simplex

(a)

Richtig, da die Aussage $1+2=5$ bereits falsch ist und dadurch die Implikation immer gültig ist (siehe Wahrheitstabelle der Implikation).

(b)

Richtig, da wie in Aufgabe (a) die linke Aussage der Implikation bereits falsch ist und dadurch immer wahr herauskommt.

(c)

Richtig, da die Aussage entweder bei A = wahr oder falsch gültig ist (entweder ist der linke Teil oder rechte Teil des $\lor$ richtig. Siehe zugehörige Wahrheitstabelle.

A		A	$\lor$	$\lnot$A
0	|	0	1	1
1	|	1	1	0

(d)

Richtig, da der rechte Teil der Aussage wahr ist.

(e)

Richtig, da sowohl der linke als auch der rechte Teil der Aussage wahr ist. Es würde auch reichen, wenn nur einer der beiden wahr sein würde.

(f)

Falsch. Beweis mit Wahrheitstabelle:

A	B		(A $\rightarrow$B)	$\rightarrow$	(B$\rightarrow$A)
0	0	|	1	1	0
0	1	|	1	0	1
1	0	|	1	1	0
1	1	|	1	1	0

(g)

Richtig. Beweis mit Wahrheitstabelle:

A	B		((A $\rightarrow$B)	$\land$	A)	$\rightarrow$	B
0	0	|	1	0	0	1	0
0	1	|	1	0	0	1	1
1	0	|	0	0	1	1	0
1	1	|	1	1	1	1	1

(h)

Richtig. Beweis mit Wahrheitstabelle:

A	B		(A $\rightarrow$B)	$\rightarrow$	($\lnot$B	$\rightarrow$	$\lnot$A)
0	0	|	1	1	1	1	1
0	1	|	1	1	0	1	1
1	0	|	0	1	1	0	0
1	1	|	1	1	0	1	0

--Simplex 13:43, 15. Okt. 2022 (CEST) ==