TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 16

(1P) Konvergenz

Welche der Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert; wenn sie konvergiert: wogegen? Wenn nicht: geht sie gegen $\infty$ oder $-\infty$?

Zur Erinnerung: $-1^{0}=1,\ -1^{1}=-1,\ -1^{2}=1,\ -1^{3}=-1,\ ...$

(a) $a_{n}:=n$
(b) $a_{n}:={\tfrac {1}{n}}$
(c) $a_{n}:=(-1)^{n}$
(d) $a_{n}:=(-1)^{n}n$
(e) $a_{n}:=(-1)^{n}{\tfrac {1}{n}}$

(f) $a_{n}:=log(n)$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Der Grenzwert einer Folge lässt sich sowohl graphisch als auch rechnerisch bestimmen. Entscheidet man sich für die rechnerische Variante, so muss man beim "einsetzen" von $\infty$ in $n$ aufpassen, sollte einer der folgenden Resultate auftreten:

$${\frac {0}{0}},\quad 0\cdot \infty ,\quad \infty -\infty ,\quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad 0^{0},\quad \infty ^{0},\quad 1^{\infty }$$

Wenn man einen solchen Term erhält, so muss man die "Regel von de L’Hospital" angewendet werden, bevor man weiterrechnet.

Lösungsvorschlag von Simplex

(a) Divergent

Divergiert nach $\infty$.

(b) Konvergent

Konvergiert gegen 0.

(c) Divergent

Divergiert, jedoch weder gegen $\infty$ noch $-\infty$.

(d) Divergent

Divergiert, jedoch weder gegen $\infty$ noch $-\infty$.

(e) Konvergent

Konvergiert gegen 0.

(f) Divergent

Divergiert gegen $\infty$, da $\textstyle \lim _{n\to \infty }\displaystyle log(n)=\infty$ist.

--Simplex 19:02, 15. Okt. 2022 (CEST)

Deine Lösung...