TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 16

(1P) Konvergenz

Welche der Folgen $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert; wenn sie konvergiert: wogegen? Wenn nicht: geht sie gegen $\mathrm{\infty }$ oder $-\mathrm{\infty }$?

Zur Erinnerung: $-1^0=1,-1^1=-1,-1^2=1,-1^3=-1,\mathrm{...}$

(a) $a_n:=n$
(b) $a_n:=\frac{1}{n}$
(c) $a_n:=(-1{)}^n$
(d) $a_n:=(-1{)}^{n}n$
(e) $a_n:=(-1{)}^n\frac{1}{n}$

(f) $a_n:=log(n)$

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Hilfreiches

Der Grenzwert einer Folge lässt sich sowohl graphisch als auch rechnerisch bestimmen. Entscheidet man sich für die rechnerische Variante, so muss man beim "einsetzen" von $\mathrm{\infty }$ in $n$ aufpassen, sollte einer der folgenden Resultate auftreten:$$\frac{0}{0},0\cdot \mathrm{\infty },\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},0^0,{\mathrm{\infty }}^0,1^{\mathrm{\infty }}$$Wenn man einen solchen Term erhält, so muss man die "Regel von de L’Hospital" angewendet werden, bevor man weiterrechnet.

Lösungsvorschlag von Simplex

(a) Divergent

Divergiert nach $\mathrm{\infty }$.

(b) Konvergent

Konvergiert gegen 0.

(c) Divergent

Divergiert, jedoch weder gegen $\mathrm{\infty }$ noch $-\mathrm{\infty }$.

(d) Divergent

Divergiert, jedoch weder gegen $\mathrm{\infty }$ noch $-\mathrm{\infty }$.

(e) Konvergent

Konvergiert gegen 0.

(f) Divergent

Divergiert gegen $\mathrm{\infty }$, da $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}log(n)=\mathrm{\infty }$ist.

--Simplex 19:02, 15. Okt. 2022 (CEST)

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