TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 2

(1P) Quantoren

In der Mathematik wird das Zeichen $\mathrm{\forall }$ für "für alle" verwendet, und $\mathrm{\exists }$ für "es gibt". Welche der Folgenden Aussagen gilt in $ℝ$, den reellen Zahlen:

(a) Für jedes $x$ gibt es ein größeres $z$.
$(\mathrm{\forall }x)(\mathrm{\exists }z)x<z$

(b) Es gibt ein größtes $z$.
$(\mathrm{\exists }z)(\mathrm{\forall }x)x\le z$

(c) Für alle $x<z$ gibt es ein $y$ dazwischen, d.h. $x<y<z$.
$(\mathrm{\forall }x)(\mathrm{\forall }z)(x<z\to (\mathrm{\exists }y)x<y<z)$ Wir schreiben das auch einfach $(\mathrm{\forall }x<z)(\mathrm{\exists }y)x<y<z$

(d) $(\mathrm{\exists }y)(\mathrm{\forall }x<z)x<y<z$

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}}

Hilfreiches

Ein Gegenbeweis reicht aus, um die Gültigkeit der Aussagen zu widerlegen.

Lösungsvorschlag von Pingyourself

--Pingyourself 20:41, 18. Okt. 2022 (CEST)

(a) $x=n,z=x+1\to x<z$ man sieht, die Aussage ist richtig!

(b) $z=n,x=z+1\to x\le z$ man sieht, die Aussage ist falsch!

(c) $x=n,z=x+1y=x+(z-x)/2\to n<n+((n+1)-n)/2<n+1$ man sieht, die Aussage ist richtig!

(d) $y=n,x=y+1,z=x+1\to x<y<z$ man sieht, die Aussage ist falsch!

An der Aufgabe wird einem nähergeführt, dass Quantoren in der Regel nicht vertauschbar sind.