TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 3

(1P) Sinus und Cosinus

Sie sollten bereits wissen:

(i) $sin(0)=0,sin({\tfrac {\pi }{2}})=1,cos(0)=1,cos({\tfrac {\pi }{2}})=0$

(ii) $sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)$

(iii) $sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)$

(iv) $cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)$

(v) $sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1$

Zeige Mithilfe von (i)-(v):

(a) $cos(2x)=2cos^{2}(x)-1$

(b) $cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)$

(c) $cos(x)=sin({\tfrac {\pi }{2}}-x)$

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Lösungsvorschlag von Simplex

(a)

(b)

${\begin{alignedat}{2}z.z.:cos(x-y)&=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)\\{\text{in }}(iv){\text{ für }}y:-y\\\Leftrightarrow \ cos(x-y)&=cos(x)cos(-y)-sin(x)sin(-y)\\\Leftrightarrow \ cos(x-y)&=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)\quad {\underline {q.e.d.}}\end{alignedat}}$

(c)

${\begin{alignedat}{2}z.z.:cos(x)&=sin({\tfrac {\pi }{2}}-x)\\\Leftrightarrow \ cos(x)&=sin(\underbrace {\tfrac {\pi }{2}} _{=1}\cdot \underbrace {cos(-x)} _{=cos(x)}+\underbrace {cos({\tfrac {\pi }{2}})\cdot sin(-x)} _{=0}=cos(x)\quad {\underline {q.e.d.}}\end{alignedat}}$

--Simplex 14:14, 3. Nov. 2022 (CET)