TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 3

(1P) Sinus und Cosinus

Sie sollten bereits wissen:

(i) $sin(0)=0,sin(\frac{\pi }{2})=1,cos(0)=1,cos(\frac{\pi }{2})=0$

(ii) $sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)$

(iii) $sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)$

(iv) $cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)$

(v) $si{n}^2(x)+co{s}^2(x)=1$

Zeige Mithilfe von (i)-(v):

(a) $cos(2x)=2co{s}^2(x)-1$

(b) $cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)$

(c) $cos(x)=sin(\frac{\pi }{2}-x)$

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Lösungsvorschlag von Simplex

(a)

$\begin{array}{cc}cos(2x)& =2cos(x{)}^2-1\\ \iff \stackrel{\text{aus }(iv)\text{ mit }y=x}{\overbrace{cos(x+x)}}& =2cos(x{)}^2-1\\ \iff cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)& =2cos(x{)}^2-1\\ \iff cos(x{)}^2-\stackrel{(v)\text{ umformen}}{\overbrace{sin(x{)}^2}}& =2cos(x{)}^2-1\\ \iff cos(x{)}^2-(1-cos(x{)}^2)& =2cos(x{)}^2-1\\ \iff cos(x{)}^2+cos(x{)}^2-1& =2cos(x{)}^2-1\\ \leftrightarrow cos(x{)}^2+cos(x{)}^2-1& =2cos(x{)}^2-1\underset{\_}{q.e.d.}\end{array}$

(b)

$\begin{array}{cc}z.z.:cos(x-y)& =cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)\\ \text{in }(iv)\text{ für }y:-y\\ \iff cos(x-y)& =cos(x)cos(-y)-sin(x)sin(-y)\\ \iff cos(x-y)& =cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)\underset{\_}{q.e.d.}\end{array}$

(c)

$\begin{array}{cc}z.z.:cos(x)& =sin(\frac{\pi }{2}-x)\\ \iff cos(x)& =sin(\underset{=1}{\underbrace{\frac{\pi }{2}}}\cdot \underset{=cos(x)}{\underbrace{cos(-x)}}+\underset{=0}{\underbrace{cos(\frac{\pi }{2})\cdot sin(-x)}}=cos(x)\underset{\_}{q.e.d.}\end{array}$

--Simplex 14:14, 3. Nov. 2022 (CET)