TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 146

Man diskutiere die Funktion $f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$ im Intervall $I=[-\pi ,\pi ]$.

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Hilfreiches

Kurvendiskussion

Kurvendiskussion

Nullstellen:

$f(x)=0$

Extremwerte:

$f^{\prime }(x)=0$

• Maximum, falls $f^{″}(x)<0$
• Minimum, falls $f^{″}(x)>0$
• Sattelpunkt, falls $f^{″}(x)=0$

Wendepunkte:

$f^{″}(x)=0$ und $f^{‴}(x)\ne 0$

Konvexität:

• Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen), falls $f^{″}(x)>0$
• Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen), falls $f^{″}(x)<0$

In der Wikipedia findet sich dazu ein langer Artikel.

Lösungsvorschlag

von --JasonLeroy 01:14, 12. Mär. 2010 (CET)

Die Intervallangabe beinhaltet eine kleine Information für uns: Die Kurve wiederholt sich nicht.

Grafische Darstellung der Kurve mit WolframAlpha.

Ableitungen

Für die Kurvendiskussion werden die ersten 3 Ableitungen benötigt.

$f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$

$f^{\prime }(x)=\cos x+\sqrt{3}\sin x$

$f^{″}(x)=-\sin x+\sqrt{3}\cos x$

$f^{‴}(x)=-\cos x-\sqrt{3}\sin x$

Nullstellen

$f(x)=0$

$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$

$\sin x=\sqrt{3}\cos x$

$\frac{\sin x}{\cos x}=\sqrt{3}$

$\tan x=\sqrt{3}$

$x=\arctan \sqrt{3}$

$x_1=\frac{\pi }{3},x_2=-\frac{2\pi }{3}$

---

Anm.: Ergänzung ... die Nullstellen sind: $N_1(\frac{\pi }{3},0),N_2(-\frac{2\pi }{3},0)$

Extremwerte

$f^{\prime }(x)=0$

$\cos x+\sqrt{3}\sin x=0$

$\cos x=-\sqrt{3}\sin x$

$\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x=\arctan -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x_1=-\frac{\pi }{6},x_2=\frac{5\pi }{6}$

---

Anm (Schnitzel): Im allgemeinen Fall nicht hinreichend. $f^{″}$ muss auch überprüft werden (bzw einfach den Graphen anschaun und erkennen dass in diesem Beispiel die Funktion eh keine Plateaus hat)

Beispielsweise hat $f(x)=x^3$ keinen Extremwert bei $x=0$, aus der Rechnung oben würde das aber hervorgehen.

---

Anm. (Ju): Vollständigkeitshalber muss man natürlich noch die x-Werte in f(x) einsetzen, um die Extremstellen zu bekommen
$E_1(-\frac{\pi }{6},-2),E_2(\frac{5}{6}\pi ,2)$
und was Schnitzel meint auch mittels $f^{″}$ prüfen, ob es sich um ein Minimum, oder Maximum handelt.

Wendepunkte

$f^{″}(x)=0$ und $f^{‴}(x)\ne 0$

$-\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$

$\sin x=\sqrt{3}\cos x$

$\tan x=\sqrt{3}$

$x=\arctan (\sqrt{3})=\arctan (\pm 1,\mathrm{73...})$

$x_1=\frac{\pi }{3},x_2=-\frac{2\pi }{3}$

$f^{‴}(\frac{\pi }{3})=-2\ne 0$

$f^{‴}(-\frac{2\pi }{3})=2\ne 0$

$\Rightarrow W_1(\frac{\pi }{3},0)W_2(-\frac{2\pi }{3},0)$

Konvexität

Aus den Wendepunkten lassen sich nun die Intervalle ablesen, in denen die Kurve die Richtung nicht ändert.

$[-\pi ;-\frac{-2\pi }{3}[\dots f^{″}(-\pi )=-sin-\pi +\sqrt{3}\cos -\pi =-\sqrt{3}\dots Konkavbogen$

$]-\frac{-2\pi }{3};\frac{\pi }{3}[\dots f^{″}(0)=-sin0+\sqrt{3}\cos 0=\sqrt{3}\dots Konvexbogen$

$]\frac{\pi }{3};\pi ]\dots f^{″}(\pi )=-sin\pi +\sqrt{3}\cos \pi =-\sqrt{3}\dots Konkavbogen$

Skizze

[Plot in Wolfram Alpha]

Lösungsvorschlag von mnemetz

Ich habe meinen Lösungsvorschlag mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 21:18, 23. Mär 2006 (CET)

Log der Verbesserungen

• Korrektur bei Nullstelle; wichtige Korrektur bei Wendepunkten! --Markus Nemetz 10:40, 30. Mär 2006 (CEST)
• Kleinere Ergänzungen. --Markus Nemetz 19:52, 28. Mär 2006 (CEST)
• Korrektur im Bereich Konvexivität. --Markus Nemetz 13:31, 27. Mär 2006 (CEST)
• Korrektur im Bereich Konvexivität. --Markus Nemetz 17:20, 25. Mär 2006 (CET)
• Es scheint noch einen Fehler bei den Extremwerten zu geben. f(-pi/6)= +2! daher Minimum. Für f(5pi/6)= -2 daher Maximum. Ich denke mnemetz hat das Minus vor der Ableitung vergessen! lG leiwand

Links

• Diskussion im Informatik-Forum SS2010

Quelle

Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 436