TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 18

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge mit $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$. Zeigen Sie, dass $\lim _{n\to \infty }|a_{n}|=|a|$.

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Hilfreiches

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Lösung mittels umgekehrter Dreiecksungleichung

Aichingm (Diskussion) 23:24, 27. Mär. 2017 (CEST)

Hilfreiches

Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung

Für reelle Zahlen gilt: $|a+b|\leq |a|+|b|$ Herleitung der umgekehrten Dreiecksungleichung auf Wikipedia

Umgekehrte Dreiecksungleichung herleiten

Richtung A

$z_{1},z_{2}\in {\mathbb {R}}$

$z_{1}=x$

$z_{2}=y-x$

$z_{1}$ und $z_{2}$ In Dreiecksungleichung einsetzen:

${\begin{aligned}|x+y-x|&\leq |x|+|y-x|=\\|y|&\leq |x|+|y-x|={\text{beiderseits}}-|x|\\|y|&-|x|\leq |y-x|{\boldsymbol {(A)}}\end{aligned}}$

Richtung B

$z_{1},z_{2}\in {\mathbb {R}}$

$z_{1}=y$

$z_{2}=x-y$

$z_{1}$ und $z_{2}$ In Dreiecksungleichung einsetzen:

${\begin{aligned}|y+x-y|&\leq |y|+|x-y|=\\|x|&\leq |y|+|x-y|={\text{beiderseits}}-|y|\\|x|&-|y|\leq |x-y|{\boldsymbol {(B)}}\end{aligned}}$

$|x-y|=|y-x|\implies \mathbf {\mathit {(A)}} \quad \land \quad \mathbf {\mathit {(B)}} =|x|-|y|\leq |x-y|\quad \land \quad |y|-|x|\leq |x-y|\implies |{|x|}-{|y|}|\leq |x-y|$

Angewandt auf unser Beispiel (s. 0. Grenzwert):

$|{|a_{n}|}-{|a|}|\leq |a_{n}-a|<\varepsilon$

Q.E.D

Lösungsvorschlag

Zuerst überlegen wir uns, wie $\lim$ überhaupt definiert ist, bzw. was die Aussage der Angabe ist. Dazu zieht man Definition 4.4 aus dem Buch Mathematik für Informatik zu rate oder die Definition von oben.

Das heißt also, wir haben eine Folge $a_{n}$, die den Grenzwert $a$ aufweist. Nehmen wir von dieser Folge den Betrag, so soll der Grenzwert der Folge auch wieder dem Betrag des ursprünglichen Grenzwertes entsprechen.

Dass diese Behauptung wahr ist, kann man sich folgendermaßen überlegen: Der Grenzwert wird ja (siehe oben) über ein Intervall ($\varepsilon$-Umgebung von $a$) definiert, das man beliebig klein wählen kann, und trotzdem fast alle Folgenglieder in diesem Intervall liegen. Diese Folgenglieder können entweder fast alle positiv oder fast alle negativ sein, damit die Folge konvergiert.

Fast alle Folgenglieder sind positiv

Dann ist die Behauptung trivialerweise richtig, da positive Folgen nur einen positiven Grenzwert besitzen können und somit die Betragsfunktion nichts an der Folge oder dem Grenzwert ändert. Wieso haben positive Folgen zwingend einen positiven Grenzwert? Der Grenzwert ist der Wert, in dessen Umgebung sich fast alle Werte der Folge befinden. Liegen in diesem Intervall nur positive Folgenglieder, muss der Grenzwert auch positiv sein.

Fast alle Folgenglieder sind negativ

In diesem Fall ist der Grenzwert auch negativ, da sich in dessen Umgebung ja fast alle Werte der Folge befinden. Liegen in diesem Intervall fast nur negative Folgenglieder, muss der Grenzwert auch negativ sein.

Sonst

In diesem Fall ist die Folge divergent, d.h. sie hat keinen Grenzwert und bleibt somit außer Betracht.

Schlussfolgerung

Nun macht es aber keinen Unterschied, ob man ein negatives Folgenglied und einen negativen Grenzwert hat oder den Betrag von diesem Folgenglied und dem Betrag vom Grenzwert. Der Grund dafür ist, dass in beiden Fällen die Bedingung $|a_{n}-a|<\varepsilon$ erfüllt ist, es sich bei $a$ also um einen Grenzwert handelt:

Nehmen wir $|a_{n}-a|$. Durch die Betragsfunktion können wir diesen Term auch zu $|-(a_{n}-a)|=|-a_{n}-(-a)|$ umformen, ohne, dass sich am Ergebnis etwas ändert. Das heißt, dass es also egal ist, ob sowohl das Folgenglied als auch der Grenzwert negativ oder positiv sind - das Ergebnis der Betragsfunktion ist das gleiche. Somit kann auch der Betrag der Folgenglieder und der Betrag des Grenzwertes betrachtet werden und die Aussage in der Angabe ist richtig.

-- Berti933 (Diskussion) 16:16, 17. Mär. 2015 (CET)

Hinweis

Nach Präsentation der Lösung in der Übung muss dieser Artikel überarbeitet werden: Die Fallunterscheidung sollte auf Basis des Grenzwertes (positiv, negativ oder 0) stattfinden, damit auch alle Fälle abgedeckt sind. Ohne Fallunterscheidung könnte man sich dem Problem auch über $|a_{n}-a|$ und einem Beweis mittels der Dreiecksungleichung lösen (vorgerechnet durch den Übungsleiter).