TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 85

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

$\sum _{n\geq 0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+3)^{4/3}}}$

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Hilfreiches

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_{n}$, d.h. $\operatorname {sgn}(a_{n})\ =\ (-1)^{n}$, und $\left|a_{n}\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ gilt:

$\sum a_{n}$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_{n}$ konvergent und $\left|a_{n}\right|\leq b_{n}$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Lösungsvorschlag

Laut Leibnizkriterium konvergiert diese Reihe offensichtlich, da es sich bei $|{\frac {(-1)^{n}}{(n+3)^{4/3}}}|$ um eine monoton fallende Nullfolge handelt.

Nun stellt sich die Frage, ob die in der Reihe enthaltene Folge auch konvergiert, und die Reihe somit absolut konvergent ist. Aufgrund der Tatsache, dass der Exponent des Nenners > 1 ist, und es sich damit um eine hyperharmonische Reihe handelt, konvergiert diese und die Reihe ist somit absolut konvergent. Dies lässt sich leicht mittels Majorantenkriterium zeigen.