TU Wien:Mathematik 1/2/3 UE (diverse)/Lösungssammlung für Buchbeispiele/1.1

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

(a) $\sum _{j=2}^{n}j(j-1)={\frac {(n-1)n(n+1)}{3}},\quad (n\geq 2)$

(b) $\sum _{j=1}^{n}j(j+1)={\frac {n}{6}}(2n^{2}+6n+4),\quad (n\geq 1)$

(c) $\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{j(j+1)}}={\frac {n}{n+1}}\quad (n\geq 1)$

(d) $\sum _{j=0}^{n}j2^{j}=2^{n+1}(n-1)+2\quad (n\geq 0)$

(e) $\sum _{j=1}^{n}j3^{j-1}={\frac {3^{n}(2n-1)+1}{4}}\quad (n\geq 1)$

(f) $\sum _{j=1}^{n}{\frac {j}{3^{j}}}={\frac {3}{4}}-{\frac {2n+3}{4*3^{n}}}\quad (n\geq 0)$

Lösungen

(a) Siehe TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 66
(b) Siehe TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 10
(c) Siehe TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 11
(d) /d
(e) Siehe TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 14
(f) Siehe TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 16