Untersuchen Sie, ob es sich bei der folgenden Relation $R\subseteq A\times B$ um eine Funktion, injektive Funktion, surjektive Funktion bzw. bijektive Funktion handelt.
$R=\{(x^{2},{\frac {1}{x^{2}}})\ |\ x\in \mathbb {R} ^{+}\},A=B=\mathbb {R} ^{+}$

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Lösungsvorschlag von Schakal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die $x^{2}$ injektiv ist und ${\frac {1}{x^{2}}}$ jedes Element aus $\mathbb {R} _{+}$ nur einmal zugeordnet wird, ist diese injektiv. Die Funktion ist surjektiv da im unendlichen auch 0 erreicht wird.

(FALSCH: die Funktion nähert sich unendlich lang an und 0 wird nie erreicht. Die Funktion ist dennoch bijektiv, siehe Link unten)

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Relation

Relation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A\times B$ . Ist $\!\ A=B$ so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von $(a,b)\in R$ schreibt man auch $\!\ aRb$ , anstelle von $(a,b)\notin R$ auch $aR\!\!\!/b$ .

Funktion

Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion oder Abbildung $f:A\to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_{f}\subseteq A\times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ mit $aR_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b=f(a)$ . Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge $\{(a,f(a))|a\in A\}\subseteq A\times B$ .

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$